在幾何證明或壓軸題中，我們常常會看到如下的題目背景或結(jié)論：①某個點是某條線段的中點，②等腰三角形+頂角平分線/底邊上的高，③或線段間的等積式中出現(xiàn)了2倍或1/2，④三角形的面積比為4或1/4。當出現(xiàn)以上信息時，可以利用題目中出現(xiàn)的中點或構(gòu)造中點助力問題解決。此類題目非常靈活，常常需要進行線段間的轉(zhuǎn)化，最后借助相似三角形的判定或相似三角形的性質(zhì)助力問題解決。當題目背景或結(jié)論中出現(xiàn)2倍關(guān)系時，可以采取以下途徑：①在圖中勾勒出相關(guān)的線段，當勾勒出的線段恰好是兩個三角形時，嘗試證明這兩個三角形相似；②當勾勒出的線段無法構(gòu)成三角形時，則借助中點或等線段的信息進行線段的轉(zhuǎn)化，從而再勾勒出新的三角形證明相似。
解法分析：根據(jù)題意，利用AE^2=EG·ED，可得▲AEG與▲AED相似，同時由E是Rt▲ABF的中點，得AE=EF。本題的第(1)問是證明∠DEF=90°，利用▲AEG與▲AED相似后對應(yīng)角相等，以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，就可以利用三角形的內(nèi)角和角的和差關(guān)系得到∠DEF=90°。
本題的第(2)問出現(xiàn)了2倍關(guān)系，通過線段的轉(zhuǎn)化，可以通過證明▲CDF和▲ABF相似，從而得到最后的結(jié)論。
解法分析：根據(jù)題意，通過讀圖，可以得到一組A型基本圖形和一組X型基本圖形，借助M是BC中點，得到第(1)問的比例式；第二問的已知條件中出現(xiàn)了2倍關(guān)系，以及等積式，因此通過線段的轉(zhuǎn)化可以得到▲EBM和▲ABC相似，得到∠EMB=∠BAC，再根據(jù)AB//CD，得到最后結(jié)論。
解法分析：根據(jù)題意，由AB=AC及D為BC中點，得∠ADC=90°，則圖中出現(xiàn)了好幾對相似的Rt三角形。根據(jù)第(1)問結(jié)論中的等積式，需要證明▲ADE與▲CDE相似，通過相似三角形的判定定理1得證。根據(jù)第(2)問中的等積式，需要證明▲ADF和▲BCE相似，由∠ADE=∠C，借助F為DE中點，證明這組等角的夾邊對應(yīng)成比例，通過相似三角形的判定定理2得證。
當題目背景或結(jié)論中出現(xiàn)面積比時，有以下解決途徑：①若這兩個三角形是相似三角形，則面積比等于相似比的平方；②若這兩個三角形等(同)高，則面積比等于底之比。當結(jié)論中出現(xiàn)線段比的平方，有如下解決路徑：將不含平方的線段比轉(zhuǎn)化為三角形的面積比(一般來說都是等(同)高的三角形)，然后再去證明這兩個三角形相似，將面積比轉(zhuǎn)化為線段比的平方即可。
解法分析：根據(jù)題意，圖中共有三組兩兩相似的相似三角形，第(1)問就是利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例；第(2)問中出現(xiàn)了線段的比的平方，將AB:AD轉(zhuǎn)化為▲ABC和▲ADC的比，而這兩個三角形恰好是相似的，這兩個三角形的面積比又可以轉(zhuǎn)化為(AB:AC)的平方，再借助▲ADE和▲ACB相似，進行進一步轉(zhuǎn)化。
解法分析：根據(jù)題意，由已知條件中的等積式，可以得到▲EDF與▲EFC相似；第(2)中▲EDF與▲ADC相似，將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，結(jié)合E為BD的中點，進行進一步轉(zhuǎn)化。
解法分析：根據(jù)題意，通過讀圖，本題的第(1)問中有兩個X型基本圖形，通過線段間比例式的轉(zhuǎn)化，可以得到BG=CH。
本題的第(2)中，通過作DH⊥AB于H，則AH＝9，HE＝|x﹣9|，先利用勾股定理表示出DE的長度，再證明▲EAG∽▲EDA，則利用相似比可表示出EG的長度，則可表示出DG的長度，然后證明▲DGF∽▲EGA，最后利用相似比可表示出x和y的函數(shù)關(guān)系。
當∠GFH=∠ADN時，借助“等腰三角形的三線合一”性質(zhì)添加輔助線，利用共邊三角形的性質(zhì)和勾股定理建立線段間的數(shù)量關(guān)系。
當∠FGH=∠ADN時，此時FG//DB，借助A型基本圖形建立比例關(guān)系。
解法分析：根據(jù)題意，本題的背景是直角三角形+斜邊中線和線段比背景下的問題。第(1)問利用重心的性質(zhì)求BE的長度。本題的第(2)問、(3)問綜合構(gòu)造基本圖形、勾股定理和相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理建立線段間的數(shù)量關(guān)系。特別是第(2)問可以采取多種方法構(gòu)造平行線。
另解：兩次利用共邊共角型相似三角形的性質(zhì)
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