1 數(shù)學(xué)建模的基本方法

一般來說，建模方法大體上可以分為機理分析和測試分析。機理分析是根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義。測試分析將研究對象看做一個“黑箱”系統(tǒng)（內(nèi)部機理尚不清楚），通過對系統(tǒng)輸入、輸出數(shù)據(jù)的測量和統(tǒng)計分析，按照一定的準(zhǔn)則找出數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。

面對一個實際問題用哪種方法建模，主要取決于人們對研究對象的了解和建模的目的。對于許多實際問題還常常將兩種方法結(jié)合起來進行建模，即用機理分析建立模型的結(jié)構(gòu)，用測試分析確定模型的參數(shù)。

2 數(shù)學(xué)建模的基本步驟

建模要經(jīng)過哪些步驟，并沒有一定的模式，通常與問題性質(zhì)、建模目的等有關(guān)。下面介紹的是機理分析方法建模的一般過程。

（1）模型準(zhǔn)備：了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必要的信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清楚對象的主要特征，形成一個比較清晰的“問題”，由此初步確定用哪一類模型。在模型準(zhǔn)備階段要深入調(diào)查研究，虛心向?qū)嶋H工作者請教，盡量掌握第一手資料。對實體信息的全面了解，有助于抓住事物的本質(zhì)，萬有引力定律之所以成功，很重要的一點是它的基礎(chǔ)工作。第谷布拉赫積累了20年行星運動的數(shù)據(jù)，為開普勒推導(dǎo)行星三定律奠定了基礎(chǔ)，牛頓才有可能發(fā)現(xiàn)萬有引力定律。因此，建立一個合理的數(shù)學(xué)模型，詳細入微的調(diào)研工作是必不可少的。

（2）模型假設(shè)：要用一個抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)描述一個復(fù)雜的實際問題，必須對問題進行簡化。影響問題的因素很多，所以根據(jù)問題的特征和建模目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，做出必要的合理的假設(shè)。對于建模的成敗這是非常重要的和困難的一步。不同的假設(shè)會得到不同的數(shù)學(xué)模型，人口模型就是典型的例子。自Malthus的第一個人口模型問世至今，已有一百多個人口模型相繼產(chǎn)生。建模者依據(jù)不同的假設(shè)，建立不同的模型，從不同的角度論述人口問題，這也表明恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)和建模的目的密切相關(guān)。另外，假設(shè)做得不合理或太簡單，會導(dǎo)致錯誤的或無用的模型；假設(shè)做得過分詳細，試圖把復(fù)雜對象的眾多因素都考慮進去，會很難或無法繼續(xù)下一步的工作。常常需要在合理與簡化之間做出恰當(dāng)?shù)恼壑小Ｍǔ?，做假設(shè)的依據(jù)，一是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識，二是來自對現(xiàn)象、數(shù)據(jù)的分析，以及二者的綜合想象力、觀察力、判斷力，以及經(jīng)驗，在模型假設(shè)都起著非常重要的作用。

（3）模型構(gòu)成：根據(jù)所作的假設(shè)，用數(shù)學(xué)語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含變量、常量等的數(shù)學(xué)模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型等。這里除了需要相關(guān)學(xué)科的專門知識外，還常常需要較為廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。要善于發(fā)揮想象力，注意使用類比法，分析對象與熟悉的其他對象的共性，借用已有的模型。

（4）模型求解：可以采用解方程、畫圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計算、統(tǒng)計分析等各種數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)學(xué)軟件和計算機技術(shù)。

（5）模型分析：對求解結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析，如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的靈敏性分析等。

（6）模型檢驗：把求解和分析結(jié)果翻譯回到實際問題，與實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果與實際不符，問題常常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補充假設(shè)，重新建模．這一步對于模型是否真的有用非常關(guān)鍵，要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度對待，有些模型要經(jīng)過幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗結(jié)果獲得某種程度上的滿意．例如，牛頓創(chuàng)立的萬有引力定律就經(jīng)受了對哈雷彗星的研究、海王星的發(fā)現(xiàn)等大量事實的考驗，最終被公認(rèn)為是一個成功的數(shù)學(xué)模型。