一、一般不等式
經(jīng)常會用到的不等式一般有
前面三個是下面均值不等式的特殊情況。一般情況下a=b時，才取到等號
1、一元二次不等式
首先回顧一下一元二次方程的求根公式
一元二次不等式的解以及圖像
2、正弦余弦不等式
3、均值不等式
均值不等式中一般包含四個公式：調(diào)和平均數(shù)公式、算數(shù)平均數(shù)公式、平方平均數(shù)公式、幾何平均數(shù)公式，下面一一介紹。
- 調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是總體各統(tǒng)計變量倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。調(diào)和平均數(shù)是平均數(shù)的一種。但統(tǒng)計調(diào)和平均數(shù)，與數(shù)學(xué)調(diào)和平均數(shù)不同，它是變量倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。由于它是根據(jù)變量的倒數(shù)計算的，所以又稱倒數(shù)平均數(shù)。調(diào)和平均數(shù)也有簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種。
- 算術(shù)平均數(shù)又稱均值，是統(tǒng)計學(xué)中最基本、最常用的一種平均指標(biāo)，分為簡單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。根據(jù)表現(xiàn)形式的不同，算術(shù)平均數(shù)有不同的計算形式和計算公式。
- 一組數(shù)據(jù)的平方的平均數(shù)的算術(shù)平方根。英文縮寫為RMS。它是2次方的廣義平均數(shù)的表達(dá)式，也可稱為2次冪平均數(shù)。英文名一般縮寫成RMS。
- 幾何平均數(shù)是n個變量值連乘積的n次方根，分為簡單幾何平均數(shù)與加權(quán)幾何平均數(shù)。1）幾何平均數(shù)受極端值的影響較算術(shù)平均數(shù)?。?）如果變量值有負(fù)值，計算出的幾何平均數(shù)就會成為負(fù)數(shù)或虛數(shù)；3）它僅適用于具有等比或近似等比關(guān)系的數(shù)據(jù)；4）幾何平均數(shù)的對數(shù)是各變量值對數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。
它們的公式如下：
調(diào)和平均數(shù) ≤ 幾何平均數(shù) ≤ 算術(shù)平均數(shù) ≤ 平方平均數(shù)（方均根）
4、絕對值不等式
5、排序不等式
反序和≤亂序和≤順序和
6、權(quán)方和不等式
權(quán)方和不等式是一個數(shù)學(xué)中重要的不等式。其證明需要用到赫爾德不等式（Holder），可用于放縮的方法求最值（極值）、證明不等式等。
二、人名不等式
1、柯西不等式
柯西不等式，是數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的。從歷史的角度講，柯西不等式應(yīng)稱作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式），因為正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。
柯西不等式有很多形式
柯西不等式大致思想就是：向量的點(diǎn)積 ≤ 模的積
2、卡爾松不等式
卡爾松不等式(Carlson)是數(shù)學(xué)上的著名不等式之一，是柯西不等式的推廣?？査刹坏仁皆诓坏仁降淖C明中有著廣泛的應(yīng)用。
卡爾松不等式是柯西不等式的推廣。
3、琴聲不等式
琴生不等式以丹麥技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)家約翰·延森（John Jensen）命名。它給出積分的凸函數(shù)值和凸函數(shù)的積分值間的關(guān)系。琴生（Jensen）不等式（也稱為詹森不等式），使用時注意前提、等號成立條件。
琴聲不等式，看起來顯而易見，證明方法可用數(shù)學(xué)歸納法。
4、楊氏不等式
楊氏不等式又稱Young不等式 ，Young不等式是加權(quán)算術(shù)－幾何平均值不等式的一種特例，Young不等式也是證明Holder（赫爾德）不等式的一個快捷方法。
還有很多形式的楊氏不等式，可參看
https://zhuanlan.zhihu.com/p/41654910
5、赫爾德不等式
赫爾德不等式是數(shù)學(xué)分析的一條不等式，取名自奧圖·赫爾德(Otto H?lder）。這是一條揭示Lp空間相互關(guān)系的基本不等式。赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。
6、閔可夫斯基不等式
在數(shù)學(xué)中，閔可夫斯基不等式（Minkowski inequality）是德國數(shù)學(xué)家赫爾曼·閔可夫斯基提出的重要不等式，該不等式表明Lp空間是一個賦范向量空間。
7、伯努利不等式
伯努利不等式，又稱貝努利不等式，是分析不等式中最常見的一種不等式，由數(shù)學(xué)家伯努利提出。
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