應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異是有限元計算中常遇到的問題，通過本文介紹，讀者可以了解應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異出現(xiàn)的原因，以及在Ansys Workbench中如何處理，以及網(wǎng)格細化經(jīng)驗。

1 應(yīng)力集中

1.1應(yīng)力集中現(xiàn)象

應(yīng)力集中指物體局部應(yīng)力顯著增高的現(xiàn)象。應(yīng)力集中是機械設(shè)計工程師在設(shè)計產(chǎn)品過程中不可避免的問題。

在工程實際中，由于某種用途，通常需要在構(gòu)件上開孔、開槽、開缺口、制作臺階等，這些構(gòu)件截面突變的區(qū)域會出現(xiàn)應(yīng)力集中；材料本身存在的夾雜、氣孔、裂紋等非連續(xù)性缺陷也會產(chǎn)生應(yīng)力集中；由于強拉伸、冷加工、熱處理、焊接等而引起的殘余應(yīng)力，這些殘余應(yīng)力疊加上工件應(yīng)力后也有可能出現(xiàn)較大的應(yīng)力集中，其中結(jié)構(gòu)焊縫本身就是容易產(chǎn)生應(yīng)力集中的部位。

因此，在設(shè)計時應(yīng)盡可能避免帶尖角的孔、槽和劃痕等，合理設(shè)置筋板等，以降低應(yīng)力集中的影響。

1.2應(yīng)力集中的影響

在靜荷載作用下，應(yīng)力集中對塑性材料和脆性材料所產(chǎn)生的影響是不同的。

塑性材料因具有屈服階段，當應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力σmax達到屈服極限σs時，僅此局部產(chǎn)生塑性變形，只有荷載繼續(xù)加大，尚未屈服區(qū)域的應(yīng)力才隨之增加而相繼達到σs。因此，塑性材料在靜荷載作用下，可以不考慮應(yīng)力集中的影響。

脆性材料則不同，脆性材料沒有屈服階段，當載荷增加時，應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力σmax一直領(lǐng)先，當σmax達到強度極限σb時，局部就出現(xiàn)裂紋，從而產(chǎn)生斷裂。因而，像混凝土等脆性材料應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響。

但在隨時間作周期性變化的荷載或沖擊荷載作用下，則不論是塑性材料還是脆性材料，應(yīng)力集中的影響都必須加以考慮。

1.3應(yīng)力集中在Workbench中的網(wǎng)格處理

網(wǎng)格劃分時，對于不同部位的單元應(yīng)當采用不同的大小。對于邊界比較曲折的部位是應(yīng)力和位移變化的比較劇烈的部位，單元必須小一些；在邊界比較平直的部位、次要部位以及應(yīng)力和位移變化比較平緩的部位，單元可以大一些。當結(jié)構(gòu)存在凹槽或孔洞時，在凹槽或孔洞附近將發(fā)生應(yīng)力集中，即該處的應(yīng)力較大且變化劇烈，必須把該處的網(wǎng)格劃得較為緊密，以便更為貼切的描述此處的應(yīng)力和應(yīng)變的變化。此部分的網(wǎng)格細化到何種程度將在下文詳解。

2 應(yīng)力奇異

2.1應(yīng)力奇異現(xiàn)象

應(yīng)力奇異是指物體由于幾何關(guān)系，在求解應(yīng)力函數(shù)的時候出現(xiàn)的應(yīng)力無窮大。在有限元計算中表現(xiàn)為：隨著網(wǎng)格加密，應(yīng)力始終增加而且不收斂。

現(xiàn)實中，由于任何物體都是有一定的強度的，不可能出現(xiàn)應(yīng)力無窮大。所以在實際結(jié)構(gòu)中是不會出現(xiàn)應(yīng)力奇異的。應(yīng)力奇異是由于數(shù)學算法的問題（可以理解為在有限元仿真中出現(xiàn)的問題），應(yīng)力奇異點一般出現(xiàn)在尖角或剛性約束處。

如下圖，箭頭所指處應(yīng)力顯著增大，是應(yīng)力集中處，但是隨著網(wǎng)格細化，此處最大應(yīng)力收斂于21MPa左右，即表現(xiàn)出網(wǎng)格無關(guān)性，說明不是應(yīng)力奇異點。

注意：讀取應(yīng)力最大值時應(yīng)排除應(yīng)力奇異點，很多時候，應(yīng)力最大值與應(yīng)力奇異點重合，此時直接讀取最大值時沒有任何意義的。

2.2模型尖角處的應(yīng)力奇異及處理方法

2.2.1模型尖角處的應(yīng)力奇異現(xiàn)象

在軟件中，由于離散化誤差，所以奇異點并不會產(chǎn)生無窮大的應(yīng)力解，而是會隨著網(wǎng)格細化，局部應(yīng)力顯著增大呈現(xiàn)不收斂或收斂很慢的現(xiàn)象。應(yīng)力奇異處必然是應(yīng)力集中處，但是應(yīng)力集中處不一定應(yīng)力奇異。

討論應(yīng)力奇異的目的是在于找出應(yīng)力奇異點，分析哪些奇異點影響結(jié)構(gòu)強度，再通過修改設(shè)計避免應(yīng)力奇異現(xiàn)象。

實例1，L型支架豎邊長50，橫邊長35，厚20，邊界條件如下圖，計算3mm，2mm，1mm，0.5mm網(wǎng)格下的奇異應(yīng)力（最大應(yīng)力）。

隨著網(wǎng)格不斷細化，直角處應(yīng)力呈現(xiàn)顯著增加且不收斂現(xiàn)象，這就是應(yīng)力奇異現(xiàn)象（此處也是應(yīng)力集中點）。

實例2，使用Workbench的網(wǎng)格自動細化功能計算上例，研究最大應(yīng)力增長是否能收斂到5%以內(nèi)。

Workbench提供了網(wǎng)格自動細化功能，自動細化的網(wǎng)格自動轉(zhuǎn)換為四面體網(wǎng)格（因為四面體網(wǎng)格更靈活，更容易實現(xiàn)自動細化）。

Step1，初始化網(wǎng)格，使用默認的設(shè)置劃分網(wǎng)格，如下圖。注意初始網(wǎng)格需要保證模型在厚度方向上至少有3層網(wǎng)格，否則容易出現(xiàn)誤算情況，比如在網(wǎng)格很粗的情況下，兩次應(yīng)力計算結(jié)果相近，軟件誤認為網(wǎng)格細化已達到變化容差條件。

Step2，設(shè)置細化循環(huán)次數(shù)與細化層數(shù)。

點擊特征樹中Soulution(A6)，在屬性窗口設(shè)置Max Refinement Loops(細化循環(huán)次數(shù))為5，含義在下文介紹。Refinement Depth(細化層數(shù))為默認的2，細化層數(shù)越大，細化的范圍和深度越大，一般使用默認的2層即可。

Step3，添加Convergence(收斂)：右擊應(yīng)力結(jié)果——Insert——Convergence。

在Convergence的屬性窗口中設(shè)置Allowable Change(變化容差)為5%。

Step4，點擊Solve計算。

經(jīng)過剛才的設(shè)置，網(wǎng)格最多經(jīng)過5次細化，計算最多進行6次（1次初始網(wǎng)格下計算，5次網(wǎng)格細化迭代計算）。如果在5次內(nèi)，應(yīng)力結(jié)果的變化值已經(jīng)收斂到我們設(shè)置的5%變化容差以內(nèi)，則將不進行之后的網(wǎng)格自動細化。本例進行了5次迭代也不能使應(yīng)力變化收斂到5%內(nèi)，所以特征樹中的Convergence選項前將顯示感嘆號，表示收斂失敗，最終云圖與收斂圖表如下。

由以上收斂圖表可知，網(wǎng)格自動細化進行了5次，最后一次的網(wǎng)格數(shù)量達到27.25萬，最大應(yīng)力186.81MPa，但是應(yīng)力變化值未收斂到5%以內(nèi)，而且呈現(xiàn)放大不收斂趨勢。 Change（%）=（本次應(yīng)力-上次應(yīng)力）/（本次與上次應(yīng)力的平均值）。

2.2.2模型尖角處的應(yīng)力奇異處理方法

對于不影響結(jié)構(gòu)強度的應(yīng)力奇異點，我們可以忽略它，使用應(yīng)力探針探測我們關(guān)心處的應(yīng)力，或者選擇我們關(guān)心的局部模型進行顯示。

很顯然，上例模型尖角處的應(yīng)力奇異點和集中點影響了結(jié)構(gòu)強度，為了避免應(yīng)力奇異或應(yīng)力集中影響結(jié)果強度，需要修改設(shè)計，比如添加圓角，便可以消除應(yīng)力奇異現(xiàn)象。

實例3，將實例1、2中L型支架轉(zhuǎn)角處添加R3圓角，使用實例2的方法再次計算最大應(yīng)力，研究最大應(yīng)力增長是否能收斂到5%以內(nèi)。

步驟參考實例2，注意初始網(wǎng)格在厚度方向應(yīng)至少有3層。最終云圖與收斂圖表如下。

由以上收斂圖表可知，網(wǎng)格自動細化只進行了2次，最后一次的網(wǎng)格數(shù)量僅2.71萬，最大應(yīng)力60.84MPa，但是應(yīng)力變化值收斂到3.7%。 本例還可進一步減小變化容差值，下表為變化容差設(shè)置為1%后的結(jié)果。最終應(yīng)力變化值收斂到0.14%，最大應(yīng)力60.92MPa，與容差設(shè)置為5%時的變化不大，所以一般我們認為變化容差5%已足夠。

2.3 剛性約束處的應(yīng)力奇異及處理方法

2.3.1 剛性約束處的應(yīng)力奇異現(xiàn)象

在《Ansys Workbench邊界條件——載荷與約束實例詳解》一文我們介紹過，固定約束Fixed Support與強制位移約束Displacement由于是剛性約束，容易產(chǎn)生應(yīng)力奇異。

實例4，截面為10mm×10mm×30mm的矩形條拉伸說明此問題，固定矩形條一端，另一端施加10000N的拉力，使用網(wǎng)格自動細化功能，最大細化循環(huán)次數(shù)設(shè)置為5，研究最大應(yīng)力增長是否能收斂到5%以內(nèi)。

根據(jù)材料力學理論，矩形條的應(yīng)力應(yīng)該為σ =F/A=10000/100=100MPa。但是本例中，最大應(yīng)力遠遠大于此值，且不收斂，固定約束處出現(xiàn)了應(yīng)力奇異現(xiàn)象。

2.3.2 剛性約束處的應(yīng)力奇異處理方法

大多數(shù)情況下，我們不關(guān)心固定約束處的應(yīng)力值，它不影響結(jié)構(gòu)強度，我們可以忽略它，使用應(yīng)力探針探測我們關(guān)心處的應(yīng)力，或者選擇局部模型進行顯示。

當我們需要關(guān)心固定約束處的應(yīng)力時，可以使用遠程位移功能施加6向約束，以其代替固定約束，遠程約束設(shè)置中Behavior默認為Deformable(柔性)，即允許約束面受力時變形，所以不會出現(xiàn)應(yīng)力奇異現(xiàn)象。

3 網(wǎng)格細化到多少合適

軟件默認劃分的網(wǎng)格容易出現(xiàn)重要部分的結(jié)果不夠準確或不收斂，不重要的部分網(wǎng)格過細，浪費計算資源。所以在網(wǎng)格劃分中，使用者應(yīng)重點關(guān)注重要部分的網(wǎng)格劃分，比如應(yīng)力集中區(qū)、接觸區(qū)、大變形區(qū)等，對這些部分進行單獨的局部網(wǎng)格控制。

網(wǎng)格的質(zhì)量也會影響計算結(jié)果，可以通過修改過渡、平滑，設(shè)定質(zhì)量控制目標等在一定程度地優(yōu)化網(wǎng)格質(zhì)量，也可用色塊形式顯示網(wǎng)格質(zhì)量，請參考全局與局部網(wǎng)格控制的文章。

關(guān)于六面體與四面體網(wǎng)格的選擇：在同等尺寸前提下，六面體擁有更少的單元數(shù)量與節(jié)點數(shù)量，離散化誤差更小。但是在實踐應(yīng)用中，很多復雜模型不易使用六面體網(wǎng)格劃分，軟件會自動使用四面體網(wǎng)格劃分，四面體網(wǎng)格的適應(yīng)性更強，特別是對于局部加密網(wǎng)格的模型，四面體網(wǎng)格的靈活性比六面體網(wǎng)格強得多。對于工程應(yīng)用，不用糾結(jié)于六面體還是四面體網(wǎng)格，計算精度都能滿足要求。

在不存在應(yīng)力奇異前提下，關(guān)于重點區(qū)域網(wǎng)格細化到多少才能使應(yīng)力結(jié)果計算準確？這往往需要實踐經(jīng)驗，沒有絕對的標準。讀者也可使用實例2、3、4中的網(wǎng)格自動細化功能。但是對于復雜模型，可能需要耗費很多的計算資源與時間。在使用自動細化功能時，應(yīng)保證模型厚度方向至少有3層單元。

實際工程應(yīng)用中，復雜模型一次計算可能需要數(shù)小時或數(shù)十小時，時間和計算資源不允許我們采用自動細化功能，此時我們可以使用前人的經(jīng)驗總結(jié)：模型厚度方法至少需要2層單元。應(yīng)力云圖默認色塊紅色區(qū)域應(yīng)至少完整覆蓋2層單元。

實例5，將實例3中L支架整體劃分4mm網(wǎng)格，圓角劃分0.5mm網(wǎng)格，計算最大應(yīng)力。

Step1 網(wǎng)格劃分。

Step2 施加邊界條件并計算。計算結(jié)果為60.6MPa，與實例3中的結(jié)果接近，此時紅色區(qū)域完整覆蓋了4~5層單元。

說明：默認色標分為9格（上圖左側(cè)），從深藍到鮮紅共9個顏色，每個色塊代表了應(yīng)力增長范圍都為最大應(yīng)力的1/9≈11%。讓默認色塊的紅色完整覆蓋2層單元保證了有足夠大的模型面積處于最大的11%的應(yīng)力范圍內(nèi)，避免了網(wǎng)格細化不足的情況。

最后需要指出，變形無奇異現(xiàn)象，往往很粗糙的網(wǎng)格也能計算出較準確的變形位移。

寫在最后，任何一門計算機輔助技術(shù)都是入門簡單精通困難，所以需要工程師持之以恒地學習與實踐。有限元分析不僅要求工程師對理論基礎(chǔ)熟悉、對分析軟件熟練，還需要積累豐富的實踐項目經(jīng)驗。筆者的理論水平、軟件熟悉程度、實踐經(jīng)驗等方面都不足，難免會在上文出現(xiàn)很多紕漏錯誤，懇請指正批評。