當(dāng)下的數(shù)學(xué)課程改革與實(shí)踐中，對(duì)一個(gè)單元整體知識(shí)教學(xué)的研究比較多，而對(duì)幾個(gè)單元甚至不同年級(jí)的相關(guān)單元知識(shí)的整體教學(xué)尚缺乏深入研究和典型課例。事實(shí)上，如果學(xué)生習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能總是局限于某一個(gè)單元或某一個(gè)年級(jí)，顯然不利于學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，也會(huì)阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，因此“總得有人去擦星星”。前不久，筆者在五年級(jí)進(jìn)行了《小數(shù)四則運(yùn)算復(fù)習(xí)》多單元整體知識(shí)教學(xué)嘗試。（詳細(xì)教案與思考見(jiàn)下面鏈接）

現(xiàn)在又欣喜地看到，安徽省特級(jí)教師夏永立大膽嘗試了一節(jié)體現(xiàn)整體性知識(shí)教學(xué)的創(chuàng)新研究課《加減乘除是一家》（二年級(jí)），為我們呈現(xiàn)了一份極具借鑒意義的精彩課例。

一節(jié)課只有40分鐘，要把分散在兩個(gè)年級(jí)里面多個(gè)單元的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體教學(xué)，難度很大，這就需要教師對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整體組織。夏老師整節(jié)課以一根數(shù)線（如圖1，小學(xué)階段尚沒(méi)有正式學(xué)習(xí)“數(shù)軸”這一概念）貫穿始終，把加、減、乘、除法的基本含義和內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行了整體性教學(xué)：

夏老師首先讓孩子在數(shù)線上移動(dòng)磁扣，分別表示出加法和減法運(yùn)算，體驗(yàn)它們之間的互逆關(guān)系。學(xué)生通過(guò)形象具體的教具移動(dòng)，利用簡(jiǎn)約和直觀的素材，在活動(dòng)中明確了加減法的含義: 加法就是繼續(xù)往后數(shù)的計(jì)數(shù)策略，減法就是往回?cái)?shù)的計(jì)數(shù)策略。

在初步溝通了加、減法之間的內(nèi)在聯(lián)系后，進(jìn)一步讓學(xué)生在數(shù)線上操作和理解乘、除法（圖2和圖3）：整數(shù)乘法是以0為起點(diǎn)，以其中一個(gè)乘數(shù)為單位跳著往后數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)；而除法則是按單位量跳著往回?cái)?shù)的計(jì)數(shù)策略。進(jìn)而使學(xué)生體會(huì)到乘法與除法之間的互逆關(guān)系。

在學(xué)生分別建立了加法和減法、乘法和除法之間關(guān)系的同時(shí)，進(jìn)一步溝通乘法和加法、除法和減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，即“乘法是特殊的加法”“除法是特殊的減法”，由此逐步體驗(yàn)到“加減乘除是一家”。在課堂結(jié)尾之時(shí)，進(jìn)一步由正數(shù)拓展到負(fù)數(shù)（圖4），在激發(fā)學(xué)生的探究欲望的同時(shí)也為今后學(xué)習(xí)留下伏筆。 

眾所周知，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以促進(jìn)孩子進(jìn)行深度的數(shù)學(xué)思考。在本課教學(xué)中，夏老師既沒(méi)有由老師過(guò)多地講述與灌輸，也沒(méi)有一味地讓學(xué)生過(guò)多的操作與探索，而是一直讓學(xué)生思考三個(gè)核心問(wèn)題：我是誰(shuí)？家在哪？還去哪？在這些富有哲思的“核心問(wèn)題”的分解和追問(wèn)中，幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)認(rèn)知圖式的自我建構(gòu)。

有了核心問(wèn)題的整體引領(lǐng)，還需要通過(guò)具體問(wèn)題的分解設(shè)計(jì)來(lái)促進(jìn)學(xué)生不斷探索與思考四則運(yùn)算的本質(zhì)：

⑴在教學(xué)加法和減法的含義和相互關(guān)系時(shí)，分別提問(wèn)：在數(shù)線上，0的家在哪里？0+1的新家又在哪里？它（圓形磁扣）怎樣回到原來(lái)的家？比較兩次移動(dòng)的過(guò)程，有什么相同的地方？又有什么不同的地方？

⑵在溝通加法和乘法的關(guān)系時(shí)，提問(wèn)：剛才用磁扣移動(dòng)的時(shí)候，都是一格一格跳的，還可以怎么跳？幾格幾格地跳，除了列加法算式還可以用什么運(yùn)算？有了加法運(yùn)算為什么還要學(xué)習(xí)乘法？

⑶在溝通除法和減法的關(guān)系時(shí)，提問(wèn)：磁扣從8開(kāi)始，向左2格2格地跳，回到原來(lái)的家（0），你能想到什么算式？除法的含義是什么？你能用箭頭表示除法和減法的關(guān)系嗎？

⑷在教學(xué)乘法和除法的含義和相互關(guān)系時(shí)，提問(wèn)：乘法和除法計(jì)算時(shí)，在數(shù)線上移動(dòng)磁扣有什么相同和不同的地方？乘法和除法有什么聯(lián)系？

⑸在四種運(yùn)算含義分別理解、運(yùn)算之間聯(lián)系初步形成后，進(jìn)一步通過(guò)核心問(wèn)題引發(fā)學(xué)生深度思考：加、減、乘、除法四種運(yùn)算之間到底是怎樣的關(guān)系？運(yùn)算和認(rèn)數(shù)之間有關(guān)系嗎？哪種運(yùn)算是最先產(chǎn)生的？為什么要學(xué)習(xí)這些運(yùn)算？

從心理學(xué)角度看，促進(jìn)有組織的整體知識(shí)學(xué)習(xí)的重要外部條件是提高學(xué)習(xí)材料的可懂度，即通過(guò)有效的策略加工，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，以順應(yīng)兒童的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，也就是把“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，把“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”。夏老師精心設(shè)計(jì)了促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略，主要體現(xiàn)在以下三種策略：

首先是采用直觀游戲活動(dòng)。在全課教學(xué)中，夏老師充分發(fā)揮了游戲化、活動(dòng)化教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，只用了一個(gè)看上去不起眼的圓形磁扣教具，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)線上不斷進(jìn)行位移操作，在多種有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)中理解四則運(yùn)算的意義以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。夏老師還注意變換游戲活動(dòng)的形式，除了有老師自己的直觀示范，也有個(gè)別學(xué)生的操作演示，還有全體學(xué)生的獨(dú)立操作與合作交流，以及游戲活動(dòng)前后的猜測(cè)、驗(yàn)證和對(duì)比、評(píng)價(jià)。

其次是采用數(shù)形結(jié)合方式。數(shù)學(xué)家華羅庚在六十年前就指出“數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非”。我們知道，數(shù)的運(yùn)算的知識(shí)是人們?cè)谌粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)中抽象出來(lái)的，并且逐步形成抽象的運(yùn)算法則。要讓二年級(jí)學(xué)生深入理解運(yùn)算含義，除了借助直觀的操作活動(dòng)，還離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合的方式。夏老師通過(guò)直觀操作，幫助學(xué)生建立起跳動(dòng)磁扣的格子數(shù)、方向與計(jì)數(shù)、運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生由動(dòng)作圖式過(guò)渡到具體運(yùn)算圖式，進(jìn)而發(fā)展為抽象運(yùn)算圖式。

再次是采用符號(hào)標(biāo)志技術(shù)。本課學(xué)習(xí)的知識(shí)是典型的“有組織的整體知識(shí)”，因此特別需要通過(guò)這種凸顯學(xué)習(xí)材料結(jié)構(gòu)和關(guān)系的技術(shù)來(lái)促進(jìn)學(xué)生深度理解。夏老師全課除了采用動(dòng)態(tài)的磁扣移動(dòng)，以幫助學(xué)生在頭腦中形成動(dòng)態(tài)表象，還通過(guò)半抽象半直觀的數(shù)線圖幫助學(xué)生在計(jì)數(shù)中理解計(jì)算，又通過(guò)板書(shū)中彩色粉筆的不同顏色、線條和符號(hào)標(biāo)記等技術(shù)，圖文并茂，突出內(nèi)容要點(diǎn)，幫助學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)男畔ⅲM(jìn)而一目了然地形成四則運(yùn)算之間的結(jié)構(gòu)性和整體性聯(lián)系，把零散的運(yùn)算概念建構(gòu)成清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體會(huì)不同運(yùn)算之間遵循的共同規(guī)律，感悟不同運(yùn)算的內(nèi)在一致性。

筆者認(rèn)為，板書(shū)是一節(jié)課的整體思路與框架，是課堂教學(xué)的運(yùn)行線索與結(jié)構(gòu)，也是教師教學(xué)智慧的寶貴結(jié)晶和創(chuàng)造，值得我們賦予更多的研究與實(shí)踐。這節(jié)課我們欣喜地看到夏永立老師十分注重板書(shū)的設(shè)計(jì)與教學(xué)：

上述的板書(shū)設(shè)計(jì)具有結(jié)構(gòu)性和整體性：既有直觀的數(shù)線以及可以移動(dòng)的磁扣，也有具體的運(yùn)算算式及得數(shù)；既有四則運(yùn)算的典型舉例，也有四則運(yùn)算之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)；既有抽象的數(shù)字和符號(hào)，也有形象的線條與箭頭；既有學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容，也有學(xué)習(xí)的問(wèn)題方法。這樣的板書(shū)，在有痕的提示中引領(lǐng)學(xué)生尋找知識(shí)之間的連接點(diǎn)，將碎片化的知識(shí)連成線、結(jié)成網(wǎng)、筑成塊；在無(wú)痕的提升中促進(jìn)學(xué)生建立起整體的結(jié)構(gòu)思維，形成了和諧完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)文化的獨(dú)特魅力。