在定量研究中，稀有事件的logistic分析往往存在困難，這點在數(shù)學(xué)上可以解釋，即頻率派方法求解待估計系數(shù)矩陣時（公式如下），如果事件發(fā)生概率過低，矩陣中就會有很多元素約等于0，那么在求矩陣的逆矩陣時就容易出問題，造成估計結(jié)果的可信度不高?，F(xiàn)在的問題是：什么樣的數(shù)據(jù)算是稀有事件數(shù)據(jù)？

加里·金（Gary King）2000年左右與其合作者發(fā)表的兩篇文章討論了對稀有事件回歸模型的估計修正。當(dāng)然，他們也沒有指出多小的比例算是稀有事件（不過他們文章中使用的數(shù)據(jù)集比例是0.34%，的確算比較小了）。他們文章的核心觀點是，通過先驗調(diào)整（prior correction）或者加權(quán)（weighting）的方式來調(diào)整估計系數(shù)使得樣本估計更接近總體。核心的參數(shù)是樣本的稀有事件比例和總體的稀少事件比例。因為他們認(rèn)為稀有事件數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)收集過程中會面臨樣本量和變量數(shù)目的權(quán)衡，因此在估計上可能會低估了稀少事件的出現(xiàn)頻次，因此這個調(diào)整方案目的和功能也只是讓估計更接近真實參數(shù)而非優(yōu)化估計。

那么核心問題是，多少比例的稀有事件才需要修正呢？為此小編采用仿真模擬（simulation）的方法，構(gòu)建了不同比例的稀少事件數(shù)據(jù)集，分別使用普通的logistic方法和Gary King的rare event logit方法來得到解答。數(shù)據(jù)分析使用R，基礎(chǔ)包的glm()函數(shù)提供了logistic回歸的程序，Zelig包中的relogit()函數(shù)提供了rare event logit的程序（這個包的其他函數(shù)出了問題，近期剛剛下架，但是錯誤報告里面沒有提relogit()的問題，因此可以用之前版本的進行計算）。

小編設(shè)定了從0.001到0.01的以0.001為步長的比例值和從0.01到0.20的以0.01為步長的比例值，最終共得到29個比例值，分別看這兩種估計方法在不同稀少比例下的表現(xiàn)。由于logistic固定了常用閾值，因此設(shè)計陣xβ和比例p之間存在某種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系沒有解析解，只能通過仿真方法求得數(shù)值解進行比較。這里小編還設(shè)定了隨機數(shù)種子666（希望獲得好運）使得結(jié)果可重復(fù)，并虛擬了100000個樣本量的數(shù)據(jù)集，變量服從最小值為0，最大值為10的均勻分布（正態(tài)分布最終會導(dǎo)致估計比例收斂到0.5，沒有辦法達到想要的比例）。下圖是仿真模擬的結(jié)果。

這幅圖展示的是給定數(shù)據(jù)集的β和比例p之間的真實關(guān)系（紅線）、logit回歸的估計（綠線），rare event logit回歸的估計（藍線）。為了看得更清晰，截取上左圖的部分結(jié)果放到右圖，可以看到盡管估計上有差異，但是由于關(guān)鍵回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤巨大，因此真實值也依然在估計的不確定范圍（uncertainty）內(nèi)。為了進一步觀察，小編計算了估計值和真實值之間的差異占真實值的比例，結(jié)果如下圖。