第二次數(shù)學危機：因芝諾的烏龜引出“無窮小”，微積分橫空出世！

cdzlh 2022-04-13

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上次我們已經(jīng)講了第一次數(shù)學危機，這是一場由畢達哥拉斯學派引發(fā)的危機，從提出到解決，用了近一百年。這次危機為數(shù)學發(fā)展帶來了無理數(shù)，將數(shù)學理論發(fā)展帶到了一個新的高度，感興趣的朋友可去主頁查看。

今天我們就來聊聊第二次數(shù)學危機，這次危機導致了微積分的出現(xiàn)，給人類發(fā)展帶來翻天覆地的變化，整個人類現(xiàn)代科學發(fā)展史都因此改變。值得一提的是，第二次數(shù)學危機在古希臘時期就已出現(xiàn)萌芽，和第一次數(shù)學危機爆發(fā)基本處于同一時期。由此可見，西方世界古代科學的心臟，基本就是古希臘確定無疑了。

當時有個叫做芝諾的數(shù)學家，這個人偏愛悖論，其中非常著名的就是“芝諾的烏龜”。這個“烏龜”還和拉普拉斯獸、麥克斯韋妖，薛定諤的貓組成了大名鼎鼎的物理學四大神獸。

芝諾研究了大量的悖論，只為了一件事：反駁時間和空間的連續(xù)性。在這個過程中，有很多著名的悖論被提出，比如什么“芝諾的烏龜”問題，“飛矢不動”問題，就是其中比較著名的。其中“芝諾的烏龜”講的是阿基里斯追趕一只烏龜?shù)墓适拢?/span>

阿基里斯在古希臘的傳說里，是一個英雄（神與人的子嗣），他以速度快而聞名，全身刀槍不入，只有腳后跟是他的罩門，后來也因此而死。

有一次，阿基里斯遇到了一只烏龜。烏龜對阿基里斯說：“雖然你跑得快，但是你永遠無法追上我。”阿基里斯就奇怪了，問烏龜：“為啥呀？”，烏龜說：“因為我在你前面，假如我們的距離是1000米，你的速度是10米/秒，我的速度是1米/秒。你想要追上我，就有這么幾個階段?！?/span>

1、你跑完1000米，花100秒，在這個時間段內(nèi)，我向前走了100米，我還在你前面。

2、你跑完剩下的100米，又花了10秒，在這個時間段內(nèi)，我又跑了10米。

3、你繼續(xù)追趕10米，花了1秒，我則又跑了1米。

烏龜說：按照這個過程追趕下來，我一直在你前面。雖然我們之間的距離雖然越來越近，但是始終存在一個微小的距離，因此，阿基里斯你永遠也追不上我。

按照烏龜?shù)恼f法，他們二者之間的距離只會不停地變小，但是永遠不會變成0，因此阿基里斯永遠也追不上烏龜。但是我們知道，事實不是這樣的，阿基里斯是能追上烏龜?shù)模俏覀冇终f不出個所以然來，那這個問題出在哪里呢？

我們完全可以將阿基里斯需要追趕的距離算出來：

S=1000+100+10+1+0.1+···10^（4-n）米。

這是一個比值為1/10的等比數(shù)列，大家知道一直加下去是多少嗎？

S=[10^4-10^（4-n）]/9米，n趨近于無窮大。

追趕所需要的時間：

T=100+10+1+0.1+···10^（3-n）秒。

這也是一個比值為1/10的等比數(shù)列，同樣的道理。

T=[10^3-10^（3-n）]/9秒，n趨近于無窮大。

當n趨近于無窮大的時候，△S，△T都趨近于無窮小，所以我們可以將10^（4-n）和10^（3-n）叫做無窮小項。在芝諾悖論里存在的問題就是：它將一個有限的長度分成了無限多份，但是被分成的這無限多份加起來并不是無窮大。

這個問題的答案很簡單，現(xiàn)在我們知道S=10000/9米，T=1000/9秒。但是在這個過程中，我們認識到了一個非常重要的概念：無窮小。當時古希臘的數(shù)學家們沒來得及深入研究這個概念，古希臘文明就走向了沒落，因此就不了了之了。

這個問題就這樣一直被耽擱，直到歐洲文藝復興爆發(fā)，這個問題才開始被重新研究。在此期間，歐洲出現(xiàn)了幾個數(shù)學上的“猛人”，牛頓、萊布尼茨就是其中的佼佼者。他們兩個人各自獨立地發(fā)明了一項驚天動地的數(shù)學工具：微積分。（雖然牛頓和萊布尼茨為此爭論不休，但是現(xiàn)在普遍認為微積分他們是各自單獨發(fā)明的）

在微積分的領域里，有一個非常重要的概念：導數(shù)這個在高中數(shù)學里有大量的介紹，我們在此不做過多解釋，對于一個函數(shù)y=f(x)，圖像上任意一點的導數(shù)△y/△x（△x趨近于0）。

現(xiàn)在我們知道，科學家們通過導數(shù)和微積分解決了很多數(shù)學和物理上過去無法解決的問題。人們覺得這個工具很好用，于是就覺得這個工具是100%正確的，但是事情的發(fā)展并不是一帆風順，總要起一點幺蛾子。一個名叫貝克萊的英國大主教就提出了一個致命的問題，也叫做貝克萊悖論。

這個問題簡單來說就是，除法里，除數(shù)不能是0。在導數(shù)里，△x如果是0的話，就不能做分母，如果不是0的話，那怎么又說是“一個點”的導數(shù)呢？這不是自相矛盾嗎？

所以這個問題就是：無窮小究竟是不是0。這個問題在當時完全沒有答案，所以微積分的基礎是存在理論缺陷的。雖然好用，但是是知其然，不知其所以然。因此，這件事，就是第二次數(shù)學危機。

第二次數(shù)學危機就這樣一直持續(xù)了150多年。在這段漫長的時間里，很多的牛人數(shù)學家試圖平復這次危機，但是都失敗了，但是在失敗的過程中也出了很多成果。150多年后，多位數(shù)學家，像大名鼎鼎的柯西、康托爾和阿貝爾等人對“無窮小”的概念進行了嚴格的定義，從而使得微積分有了堅實的基礎。