問題描述

若有一個游戲，有40%的概率勝出，賠率為3，凈賠率為2；輸的概率為0.6，本金全輸掉。那么賭客應每次投注多少百分比的本金，在進行N（大數）次游戲后，資金的期望值最高？

凱利公式

f=（pb-q)/b

其中，f為現有資金應進行下次投注的比例；p為贏的概率，q為輸的概率，b為凈賠率。

推導過程

設本金為C，投資比例為f，那么投資一次之后本金會發(fā)生變化。

如果投資成功，本金變?yōu)?img doc360img-src='https://latex./gif.latex?C*%5Cleft%20%28%201+b*f%20%5Cright%20%29' alt='C*\left ( 1+b*f \right )' src='https://latex./gif.latex?C*%5Cleft%20%28%201+b*f%20%5Cright%20%29'>

如果投資失敗，本金變?yōu)?img doc360img-src='https://latex./gif.latex?C*%5Cleft%20%28%201-f%20%5Cright%20%29' alt='C*\left ( 1-f \right )' src='https://latex./gif.latex?C*%5Cleft%20%28%201-f%20%5Cright%20%29'>

設p為贏的概率，那么投資N次之后本金變?yōu)?img doc360img-src='https://latex./gif.latex?C*%5Cleft%20%28%201+b*f%20%5Cright%20%29%5E%7BN*p%7D*%5Cleft%20%28%201-f%20%5Cright%20%29%5E%7BN*%5Cleft%20%281-p%20%5Cright%20%29%7D' alt='C*\left ( 1+b*f \right )^{N*p}*\left ( 1-f \right )^{N*\left (1-p \right )}' src='https://latex./gif.latex?C*%5Cleft%20%28%201+b*f%20%5Cright%20%29%5E%7BN*p%7D*%5Cleft%20%28%201-f%20%5Cright%20%29%5E%7BN*%5Cleft%20%281-p%20%5Cright%20%29%7D'>

想要求投資N次之后本金的最大值時f的取值，我們可以對f求導數，導數等于0的點即為函數的極值點，也就有可能是我們要求的。如果其滿足在這個點的左側導數大于0，右側導數小于0的情況下。也就是說，若在此極值點存在二階導數，在此點時二階導數為負數。 

接下來我們就通過其一階導數等于0，且其二階導數小于0來尋找極大值點。

直接求導數不好求，可以對其取對數，因為對數函數是增函數，所以求它的最大值，也就等于是求它的對數函數的最大值。

對其取對數，得：

對f求導，得到一階導數為：

令其等于0，解得：

對f求導，得到二階導數為：

可以看出在0<p<1時，二階導數恒為負數，即其一階導數在此定義域內是個減函數。原函數在一階導數為0的點為極大值點。