之前和學生談到了“少多少，薄厚薄”。有的學生不理解什么是薄與厚，還有的學生不明白如何對知識做簡單的總結，看書如何從厚到薄。

因為不善總結，初一不少學生在學到實數(shù)這一章節(jié)，就因概念多而開始混淆知識。這里以趣味邏輯這本書做演示，談談如何整理總結。

該書303頁，全書內(nèi)容總結為4頁。

看完一遍后，再花一晚上整理后的結果如下：

趣味邏輯

邏輯學：研究人們的思維形式及其規(guī)律。包括形式邏輯，數(shù)理邏輯，和辯證邏輯。

形式邏輯研究的是：

①思維形式:概念，判斷，命題，推理等；

②正確思維的基本規(guī)律：同一律，矛盾律，排中律，充足理由律；

③簡單的邏輯方法：概括，定義和劃分等。

特點：高度抽象，實踐性極強。

一、概念

概念構成命題，命題構成推理，推理構成論證。

概念是反映對象的本質(zhì)屬性和特有屬性的一種思維形式。

屬性指各個對象之間的關系和性質(zhì)。

屬性分為特有屬性和非特有屬性，本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。

本質(zhì)屬性指決定該對象之所以為該對象的那些屬性，本質(zhì)屬性必定是該類對象的特有屬性，但一類對象的特有屬性并不都是該類對象的本質(zhì)屬性。

概念是人們在感性認識基礎上，借助于分析，綜合，比較，抽象，概括等方法，認識了對象的本質(zhì)屬性與特有屬性而形成的。概念和客觀對象的關系，是反映與被反映的關系。

概念是通過詞語來表達的，但是概念與詞語不是一一對應的。不同的詞語可以表達同一個概念，而同一個詞語也可以表達不同的概念。在日常言語中，有的詞語的含義是不確定的，因此混淆同一詞語所具有的不同含義，就會帶來詭辯。

概念包括內(nèi)涵與外延。

內(nèi)涵：所反映對象的特點與本質(zhì)。  外延：指概念所反映的一個個，一類類對象。

如，人的內(nèi)涵是指能夠制造和使用勞動工具的動物，外延是古往今來的一切人。

未知數(shù)X的內(nèi)涵是實數(shù)范圍內(nèi)的任何數(shù)，外延包括有理數(shù)和無理數(shù)。

集合概念：反映集合體的概念，如森林，艦隊，它所具有的性質(zhì)，不一定為每個分子所具有。

非集合概念：反映一類對象，如樹木，軍艦。

概念關系主要是從外延關系做區(qū)分。

在外延上相互排斥，即毫無重合的，稱為不相容關系。

在外延上至少有一部分重復的兩個概念稱為相容關系。

相容關系包括：同一關系，類種關系，交叉關系。

同一關系：指概念在外延上完全重合的兩個概念之間的關系。如北京與中華人民共和國首都。

同一關系的兩個概念雖然外延一致，但內(nèi)涵有所不同，不然就不是兩個概念了。

類種關系：指一個概念的外延包含另一個概念的全部外延這樣的兩個概念間的關系。如工人和中國工人。

外延大的稱為類概念，外延小的稱為種概念。類種概念在外延和內(nèi)涵上存在反向關系，外延上，類概念大于種概念：內(nèi)涵上，類概念卻小于種概念。

白馬非馬：馬包括了白馬，黃馬，黑馬，但是白馬并不包括黃馬和黑馬，因此白馬不是馬。錯誤在于否認種概念包含與類概念之中的錯誤。

交叉關系：兩個概念在外延上有一部分是重合的，如工人和黨員。

二、命題（重難點）

感覺到的東西，你不一定能理解，只有理解了的東西，才能更深刻地感受到。

符號和公式是常識的精微化。

命題：是對思維對象作出判斷的一種思維形式。它通過對思維形式的性質(zhì)、關系、狀態(tài)、存在等所作的斷定，表現(xiàn)出人們對現(xiàn)實對象的一定認識（即反映）。命題總有真假。

一個命題并非只表達一個特定的判斷，或一個判斷就只能由一個特定的命題來表達。

人們可以利用句子的語詞歧義，或者句子結構的松散，對語句做不同的解釋，使語句具有不同的意義，從而表達不同的判斷。因此，不同的語句可以表達同一個判斷，同一個語句也可以表達不同的判斷。

命題按本身是否包含其他命題，分為簡單命題和復合命題兩類。

簡單命題是本身不再包含其他命題的一種命題。分為兩類：

①性質(zhì)命題（即直言命題），它是斷定對象具有或不具有某種性質(zhì)的命題。它又分為六類：

  單稱肯定命題，單稱否定命題，

全稱肯定命題，全稱否定命題，

特稱肯定命題，特稱否定命題，

性質(zhì)命題必須把握項的周延情況。（關鍵）

組成：量項+主項+聯(lián)項+謂項。

②關系命題：它是斷定對象和對象之間關系的命題。

復合命題是本身包含其他命題的命題。它分為三類：①聯(lián)言命題：是斷定事物若干情況同時存在的命題。如：小王不僅很聰明，而且很努力。

邏輯連接詞：和。

②選言命題：是斷定事物若干可能情況的命題。如：小王要么聰明，要么很努力。

邏輯連接詞：或。

③假言命題：是斷定某一事物情況為另一事物情況條件的命題。如：如果小王很聰明，那么小王會取得好成績。

假言命題又分為充分條件假言命題和必要條件假言命題。

如果p存在，則q存在，那么p是q的充分條件。

如果p不存在，q就不存在，那么p是q的必要條件。

負命題（非P）：是否定某個命題的命題。它與性質(zhì)命題的否定命題是不一樣的。

如：并非一切水生生物都是用鰓呼吸。

三、演繹推理

只有通過邏輯推理，我們才能發(fā)現(xiàn)科學規(guī)律的高度簡明性、嚴格性和抽象性。

推理同概念，命題一樣，也是一種最基本的思維形式。推理是由一個或幾個已知命題出發(fā)，而推出一個新命題的思維形式。

人們的知識，大部分是通過推理得到的，因此推理是人們獲取新知識的重要手段。

推理由前提和結論兩部分組成，一部分是推理所依據(jù)的已知前提，即前提，一部分是推出的新命題，即結論。

進行推理，必須遵循各種不同推理形式所固有的邏輯規(guī)律和規(guī)則。只有具有一定推論關系的命題組合起來，才能構成一個推理。

推理按前提的個數(shù)分為直接推理和間接推理。

直接推理：由一個前提推出結論的推理，稱為直接推理。它包括:①根據(jù)命題間對當關系的推理。有的，所有，個別。

②根據(jù)命題變形而進行的推理。換質(zhì)法與換位法。

間接推理：由兩個或兩個以上的命題作為前提推出一個新結論的推理，稱為間接推理。它包括演繹推理和歸納推理。

演繹推理是由一般性知識的前提推出某種特殊性知識的結論的推理。在演繹推理中，只要前提為真，前提與結論之間的聯(lián)系是符合邏輯規(guī)則的，其結論必然真實。因此，演繹推理是一中必然性的推理。

演繹推理按照作為其前提的命題種類的不同，可分為六類。

直言推理（即三段論），關系推理，聯(lián)言推理，選言推理，假言推理，二難推理。（重難點）

四、歸納推理

這部分內(nèi)容涉及歸納推理，類比推理和假說。

歸納推理是由一些反映個別或特殊知識的前提，而推出一般性知識的結論的推理。它分為完全歸納推理和不完全歸納推理。

完全歸納推理：在前提中對某類事物的全部個體對象都做了考察，然后才在結論中做出有關這一類事物全部的一般結論。局限明顯。

不完全歸納即對某類事物的部分對象做考察。它分為簡單枚舉歸納推理和科學歸納推理。

簡單枚舉歸納推理：研究所碰到的某些事物的部分對象，都具有某種性質(zhì)，而沒有發(fā)現(xiàn)與之相反的情況，以此為根據(jù)而進行的不完全歸納推理。結論具有或然性。

科學歸納推理：有計劃有選擇地對某類事物的部分對象做考察時，不僅沒有碰到相反情況，還進一步分析和發(fā)現(xiàn)了考察對象之所以具備某種性質(zhì)的原因和內(nèi)在必然性，建立在這種對事物進行科學分析基礎上的不完全歸納推理稱為科學歸納推理。結論有一定的程度的必然性。

科學歸納推理最重要的是要發(fā)現(xiàn)事物中現(xiàn)象之間的因果關系，揭示某種現(xiàn)象產(chǎn)生和存在的必然性。

類比推理：根據(jù)倆個或兩類對象在某些性質(zhì)上的相同，推出他們在另外性質(zhì)上也相同的推理。

結論是否可靠，取決于進行類比的兩類事物所具有的共同性質(zhì)與類比推出的結論所反映的性質(zhì)之間，是否有必然關系。

如果將兩個本質(zhì)不同的事物，按其表面的相似來機械加以比較而提出某些結論，就會犯機械類比的錯誤。

假說：是人們根據(jù)已經(jīng)掌握的事實材料和科學發(fā)現(xiàn)，對某一事物或現(xiàn)象的存在與否及其原因、規(guī)律性所做的一種推測性的說明。

假說的形成分兩個階段：假說的提出和驗證。提出需以一定的事實材料為依據(jù)，驗證必須廣泛運用各種推理形式，使之在實踐中獲得驗證。一旦得到驗證，假說就上升為理論了。

五、邏輯思維的基本規(guī)律

形式邏輯所研究的最基本的邏輯規(guī)律有：同一律，矛盾律，排中律和充足理由律。

同一律：在思辨與論辯過程中，必須保持概念和命題的確定與統(tǒng)一。否則就會犯變換論點或偷換概念的錯誤。

矛盾律：在同一思維過程中，對同一對象不能同時給出兩個互相矛盾的命題。如矛與盾。

排中律：在思維與論辯過程中，對兩個互相矛盾的命題，必須承認其中有一個是真的，不能同時對兩者都加以否定。否則就會犯模棱兩可的錯誤。

充足理由律：在論證過程中，作為論證根據(jù)的理由必須是真實的，理由與其推出的論斷之間應當是有邏輯的推論關系。否則就會犯虛假理由或者預期理由的錯誤。

六、邏輯論證

整章都為實例分析。

所謂論證即邏輯論證是一種通過斷定一些命題的真實性來判明另一種命題真實性的思維過程。論證由論題（真假待確定命題）、論據(jù)（自身真實性已經(jīng)斷定的命題）、論證方式（用論據(jù)確定論題真假時所采用的推理形式）三部分組成。

如果一個論證是為了判明論題為真，那么該論證稱之為證明，如果是為了判明論題為假，那么該論證稱為反駁。

論證總是借助于推理來進行。論題、論據(jù)、論證方式，分別相當于推理的前提、結論和推理形式。論證必須遵守的基本邏輯原則是充足理由原則，他要求人們在任何一個論證當中，都必須為論題提供充足理由。

論證按其所運用的推理形式不同分為演繹論證和歸納論證，按其論據(jù)用以判明論題真假方式的不同而分為直接論證和間接論證。

論證的邏輯規(guī)則分三個方面：

①關于論題的規(guī)則：一、論題必須明確，二、在同一論證過程中論題必須保持統(tǒng)一。

②關于論據(jù)的規(guī)則：一、論據(jù)應當是真實的，二、論據(jù)的真實性不能依賴論題，否則在同一論證過程中論據(jù)的真實性又依賴問題的真實性，那么會使論據(jù)論題互為論據(jù)，那就會什么也不會得到證明。違反這條規(guī)則的常見錯誤是循環(huán)論證或者惡性循環(huán)。

③關于論證方式的規(guī)則：論據(jù)必須有效地推出論題，即論證過程中必須遵守有關的推理結論。

七、悖論

Paradox。很有趣的一章。比如理發(fā)師悖論。GEB，一條永恒的金帶。

八、綜合

整章都為較復雜的實例分析。

到此結束。以上總結并未包括檢查筆誤的部分。

有心的同學可以對照這本書，看看我的歸納和書中內(nèi)容的差異。

你會發(fā)現(xiàn)，我的歸納99%都是直接摘抄書里的內(nèi)容，并且參考了每章的小結。

數(shù)學課本上的概念遠比這本書來的少，整理的方法完全是一樣的。因此，只要你認真去對照完課本后的某個單元小結，再把這個單元的一個個概念、定理抄放在一兩張A4紙上，一次簡單的總結就成功了。

接著，當你能在一張紙上一眼看到全部的這些概念和定理，即第一次從整體的視角去對比這些知識，原本疏散的它們會有了關聯(lián)，當能夠逐漸理解它們是按何順序編排在一起，知識體系自然就建立了。

最后欣賞一部分書本的內(nèi)容：