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本文介紹了利茲大學(xué)設(shè)計(jì)專業(yè)學(xué)生參加的一門與結(jié)構(gòu)和形式相關(guān)的入門課程中所包含的主題。作為背景，利茲大學(xué)的科學(xué)研究人員對(duì)一系列相關(guān)問題的理解做出了重要貢獻(xiàn)。確定了基本的結(jié)構(gòu)元素，并簡(jiǎn)要概述了瓷磚、圖案和多面體的性質(zhì)。介紹了與斐波那契級(jí)數(shù)、黃金分割、標(biāo)度對(duì)稱性和模數(shù)性相關(guān)的各種相關(guān)概念。確定了一系列重要的文獻(xiàn)，并包括了一系列的作業(yè)摘要。其目的是確定已被證明對(duì)利茲設(shè)計(jì)專業(yè)學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)的質(zhì)量改進(jìn)有價(jià)值的課程材料。這篇論文的主要目的是為設(shè)計(jì)教師提供指導(dǎo)，他們目前的工作包括開發(fā)理論部分，以支持主要以實(shí)踐為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)課程。

背景

在20世紀(jì)的大部分時(shí)間里，利茲大學(xué)在分析和解釋圖案方面發(fā)揮了關(guān)鍵作用：三維圖案是晶體結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，二維圖案是面料設(shè)計(jì)、鑲嵌和平鋪的基礎(chǔ)?？梢哉f，這一角色始于獲得諾貝爾獎(jiǎng)的卡文迪什物理學(xué)教授W·H·布拉格和他的兒子W·L·布拉格。1913年，他們團(tuán)隊(duì)合作，使用x射線衍射技術(shù)，解決了第一批晶體結(jié)構(gòu)問題。在20世紀(jì)30年代，紡織工業(yè)部的H.J.伍茲提出了一項(xiàng)關(guān)于圖案對(duì)稱性的綜合評(píng)估[1-4]。伍茲借鑒了起源于晶體結(jié)構(gòu)研究的概念，第一個(gè)完整而明確地列舉了雙色、一維和二維圖案，這是一項(xiàng)富有遠(yuǎn)見的工作，在概念上領(lǐng)先于世界各地結(jié)晶學(xué)家的理論發(fā)展數(shù)年。今天，人們普遍認(rèn)為，伍茲為我們目前對(duì)規(guī)則重復(fù)圖案和瓷磚的幾何學(xué)的思考奠定了基礎(chǔ)，尤其是我們對(duì)顏色(反轉(zhuǎn))對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)。在20世紀(jì)30年代至40年代，W.T.Astbury在利茲紡織工業(yè)部的J.B.Speakman開創(chuàng)的工作基礎(chǔ)上，率先使用X射線衍射技術(shù)來(lái)闡明羊毛纖維的結(jié)構(gòu)，這項(xiàng)工作(可以說)直接導(dǎo)致了DNA結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)。在這項(xiàng)工作的基礎(chǔ)上，也是利茲紡織工業(yè)部的J.B.Speakman開創(chuàng)了利用X射線衍射技術(shù)來(lái)闡明羊毛纖維結(jié)構(gòu)的先河，這項(xiàng)工作(可以說)直接導(dǎo)致了DNA結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)。貫穿以上所有不同作品的基本線索是結(jié)構(gòu)和形式，這是美學(xué)效果和物理表現(xiàn)的最終決定因素。

利茲的傳統(tǒng)延續(xù)了下來(lái)，更常見的與聚合物納米結(jié)構(gòu)相關(guān)的想法繼續(xù)激發(fā)著圖案和結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的研究思維。利茲大學(xué)在促進(jìn)對(duì)不同文化背景和不同歷史時(shí)期的模式的理解[5-7]，確定對(duì)模式分類的重要概念[8]，以及分析和綜合反變模式[9，10]方面做出了貢獻(xiàn)。層對(duì)稱領(lǐng)域的概念已經(jīng)被開發(fā)出來(lái)，以幫助我們理解機(jī)織紡織品的幾何結(jié)構(gòu)[11，12]。平鋪、鑲嵌和多面體是利茲大學(xué)目前的研究熱點(diǎn)。其中一個(gè)項(xiàng)目涉及通過用精細(xì)的高壓水射流沖擊染色織物表面的幾何圖案(使用不同種類的柏拉圖和阿基米德瓷磚)[13]。另一個(gè)是關(guān)于正多面體和探索周期模式或平鋪在這類結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用[14]。

本文的目的是確定一系列的概念，這些概念是利茲大學(xué)設(shè)計(jì)課程的基礎(chǔ)。這個(gè)教學(xué)大綱參考了作者過去和現(xiàn)在的研究興趣，以及Washburn和Crowe [15, 16], Grünbaum和Shephard [17], Critchlow [18, 19], Elam [20], Kappraff [21, 22], Schattschneider [23, 24], Lawlor [25], Hargittai [26, 27] 和 Pearce [28] 所提供的寶貴意見。Lidwell等人[29]提出了一個(gè)制作精良、圖文并茂的介紹性文本，涉及廣泛的幾何和其他對(duì)設(shè)計(jì)師很重要的概念；這應(yīng)該證明對(duì)教師在開發(fā)課程材料的早期階段有價(jià)值。

內(nèi)容包括：比例理論、平面平鋪、規(guī)則和半規(guī)則平鋪和鑲嵌、圖案、圖案和對(duì)稱性、圖案構(gòu)造、模塊性、斐波那契級(jí)數(shù)和黃金分割、多面體、尺度相似性和分形。本文應(yīng)該對(duì)設(shè)計(jì)課程特別有價(jià)值，教師目前的專業(yè)職責(zé)包括開發(fā)理論部分，以支持主要以實(shí)踐為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)課程。對(duì)其他人來(lái)說，本文可以作為簡(jiǎn)單的進(jìn)修課程的基礎(chǔ)，也可以作為改編補(bǔ)充教材的來(lái)源。這篇論文絕不是包羅萬(wàn)象的。它只是確定了利茲大學(xué)課程的一些更重要的組成部分，并確定了適當(dāng)?shù)奈谋?，這些文本可能會(huì)幫助教師通過包括結(jié)構(gòu)和形式的理論方面來(lái)開發(fā)他們自己的課程。需要強(qiáng)調(diào)的是，以實(shí)踐為基礎(chǔ)的活動(dòng)應(yīng)該與理論交付齊頭并進(jìn)。舉例來(lái)說，附錄中包含了一些作業(yè)摘要。值得注意的是，利茲大學(xué)的相關(guān)講座課程受到設(shè)計(jì)系學(xué)生的好評(píng)。同時(shí)，導(dǎo)師們?cè)u(píng)論說，對(duì)工作室/實(shí)踐項(xiàng)目的回應(yīng)似乎至少在一定程度上是由于本文以摘要形式提供的課程材料的加入，從而提高了對(duì)這些項(xiàng)目的反應(yīng)的質(zhì)量。

點(diǎn)、線、形式和結(jié)構(gòu)

重要的是，設(shè)計(jì)師要發(fā)展一個(gè)視覺詞匯，并意識(shí)到藝術(shù)和設(shè)計(jì)中相互關(guān)聯(lián)的重要結(jié)構(gòu)元素。這些元素包括：點(diǎn)、線、形式、圖案和結(jié)構(gòu)。對(duì)這些元素的解釋應(yīng)該成為任何有關(guān)結(jié)構(gòu)和形式的講座課程的起點(diǎn)。點(diǎn)是基本的圖形元素，所有的視覺表達(dá)都源于此。一組相連的點(diǎn)（或一個(gè)移動(dòng)的點(diǎn)）構(gòu)成了一條線。線條具有心理影響，受其方向或方位、重量和重點(diǎn)以及這些變化的影響。線條可能是人為的，也可能是由自然界創(chuàng)造的。線條可以是隱含的（例如，作為兩種顏色或兩種紋理之間的輪廓），可以是水平的、垂直的、對(duì)角線的或在平面內(nèi)的任何其他方向。線條可以是直的，也可以是彎的。線條的組合構(gòu)成了形式，并創(chuàng)造了區(qū)域或體塊，從而定義了空間中的物體。在本文中，形式一詞被用來(lái)表示長(zhǎng)度和寬度（在二維空間）或長(zhǎng)度、寬度和深度（在三維空間）。同時(shí)，結(jié)構(gòu)這一術(shù)語(yǔ)被用來(lái)表示二維或三維形式的基本幾何骨架或框架。關(guān)于點(diǎn)、線和形式的性質(zhì)以及 "視覺語(yǔ)法 "的其他元素的定義和討論，值得參考Leborg[30]。一系列基于實(shí)踐的作業(yè)也可以從這個(gè)資料中發(fā)展出來(lái)。

多邊形、圓和其他結(jié)構(gòu)

多邊形是有邊的封閉圖形（例如，用紙上的線表示）。正多邊形具有相等的邊和相等的角。正規(guī)多邊形的名稱起源于希臘語(yǔ)：五邊形，六邊形，七邊形，八邊形，九邊形和十邊形。學(xué)生應(yīng)該熟悉正五邊形和正六邊形的構(gòu)造。圓可以被認(rèn)為是一個(gè)無(wú)限邊的多邊形，沒有起點(diǎn)和終點(diǎn)。它是最容易準(zhǔn)確構(gòu)建的幾何圖形，多年來(lái)，它在視覺藝術(shù)方面有許多用途。除此以外，它還與彩虹、光環(huán)、祈禱輪、結(jié)婚戒指、歐洲中世紀(jì)大教堂的玫瑰窗和史前石圈有關(guān)。它是幾何結(jié)構(gòu)中的一個(gè)重要組成部分，沒有它，幾何學(xué)科的范圍就會(huì)很有限。Lawlor對(duì)各種幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有益的回顧[25]。

規(guī)則和半規(guī)則密鋪

術(shù)語(yǔ) "密鋪 "是指覆蓋（或鑲嵌）平面的多邊形，邊對(duì)邊，沒有間隙或重疊。一個(gè)規(guī)則的瓷磚（或鑲嵌）是由相同大小和形狀的單個(gè)多邊形的副本組成的。在二維平面上只有三種規(guī)則的多邊形可以拼湊：等邊三角形、正方形和六邊形。只有在頂點(diǎn)的角度（即角度相交處）加起來(lái)正好是360度的情況下，才有可能進(jìn)行鑲嵌。這三種可能性，每一種都使用一種正多邊形，被稱為柏拉圖鑲嵌或規(guī)則鑲嵌法。有幾種形式的符號(hào)被使用。例如，可以通過選擇一個(gè)頂點(diǎn)并計(jì)算與之相接觸的多邊形的邊以及頂點(diǎn)所涉及的多邊形的數(shù)量來(lái)記述一個(gè)瓷磚。在六邊形瓷磚的例子中，三個(gè)六邊形在一個(gè)頂點(diǎn)相遇，每個(gè)多邊形有六條邊；適當(dāng)?shù)姆?hào)是6.6.6。使用這個(gè)系統(tǒng)，其他規(guī)則的鑲嵌可以用4.4.4.4和3.3.3.3.3來(lái)記述。使用兩個(gè)或更多的正則多邊形對(duì)平面進(jìn)行鑲嵌也是可能的。在進(jìn)一步限制所有頂點(diǎn)必須相同的情況下，只有八種可能性，這些被稱為阿基米德或半規(guī)則鑲嵌。許多教科書中都有關(guān)于規(guī)則和半規(guī)則瓷磚的說明。特別是由以下作者提供的內(nèi)容豐富的文本 Grünbaum和Shephard[17]以及Critchlow[19]提供了特別豐富的文本。

主題、圖案和對(duì)稱性。

主題是圖案的構(gòu)件。規(guī)則重復(fù)圖案的主要特征是在平面上以給定距離重復(fù)主題。圖案被認(rèn)為具有對(duì)稱性。在這種情況下，術(shù)語(yǔ)“對(duì)稱”的含義超出了其日常使用范圍，涵蓋了雙邊對(duì)稱以外的幾何行為。圖案可以顯示四種對(duì)稱操作或?qū)ΨQ中的一種或多種。它們是：平移，在保持方向不變的情況下，主題在垂直、水平或?qū)欠较蛏线M(jìn)行有規(guī)律的重復(fù)；旋轉(zhuǎn)，主題圍繞想象的固定點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)；反射，主題在假想的線上重復(fù)，稱為反射軸；滑移反射，通過平移和反射的組合，在一個(gè)動(dòng)作中重復(fù)一個(gè)圖案，并結(jié)合滑動(dòng)反射軸。圖案可以根據(jù)它們的對(duì)稱特征進(jìn)行分類。四種對(duì)稱運(yùn)算的組合產(chǎn)生17種可能性(或類別)。Stevens[31]、Hann和Thomson[32]、Hann[10]和沃什伯恩和克羅[15]對(duì)基本概念進(jìn)行了解釋。Schattschneider[24]提供了一個(gè)有用的文本，從中可以發(fā)展對(duì)瓷磚對(duì)稱性的理解。有必要開發(fā)一系列練習(xí)，要求學(xué)生識(shí)別圖案和圖案的對(duì)稱特征。沃什伯恩和克羅提供了幫助識(shí)別圖案對(duì)稱類別的流程圖[15]。

非周期性密鋪

上面提到的規(guī)則和半規(guī)則平鋪在平面上沿兩個(gè)不同的方向平移(或重復(fù))，沒有間隙或重疊。這些也可以稱為周期性平鋪或鑲嵌。還有一類平鋪不顯示規(guī)則的平移或重復(fù)，但仍然覆蓋平面，沒有間隙或重疊。這些被稱為非周期或非周期。在二十世紀(jì)后半葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯(Roger Penrose)發(fā)明了一種非周期性密鋪，這種密鋪在其非重復(fù)結(jié)構(gòu)的不同點(diǎn)上表現(xiàn)出五重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。瓷磚由兩個(gè)菱形(稱為風(fēng)箏和飛鏢)組成，一個(gè)角度為36度和144度，另一個(gè)角度為72度和108度。在構(gòu)造瓷磚時(shí)，必須遵循彭羅斯[33]規(guī)定的一系列規(guī)則。

多面體

多面體是由多邊形面組成的實(shí)體。這些面在邊相交，邊在頂點(diǎn)相交(單個(gè)頂點(diǎn))。有五個(gè)正多面體(稱為“柏拉圖立體”)，每個(gè)正多面體由一種特定類型的正多邊形的組合組成。對(duì)于每個(gè)柏拉圖實(shí)體，面在大小和形狀上都是相同的，并且相同數(shù)量的面在每個(gè)頂點(diǎn)相交。柏拉圖式的五個(gè)立體如下：四面體(四個(gè)面)、立方體或六面體(六個(gè)面)、八面體(八個(gè)面)、十二面體(十二個(gè)面)和二十面體(二十個(gè)面)。另外一組多面體(總共13個(gè))可以從柏拉圖固體中獲得。這些實(shí)體被稱為“阿基米德實(shí)體”，每個(gè)實(shí)體都是由兩種或兩種以上類型的正多邊形面組合而成。它們被認(rèn)為是“半正則”的，并且在每種情況下，頂點(diǎn)都是相同的。七個(gè)阿基米德立體可以通過切割頂點(diǎn)或邊并產(chǎn)生“截?cái)喽嗝骟w”從柏拉圖立體中獲得。另外四個(gè)實(shí)體可以通過一個(gè)柏拉圖實(shí)體和一個(gè)先前的阿基米德多面體“展開”而得到。剩下的兩個(gè)實(shí)體是通過操縱立方體和十二面體獲得的?？藗愅柼峁┝艘粋€(gè)很好的說明性文本[34]。

分形和自相似性(或尺度對(duì)稱)

分形是一種由相同部分組成的幾何形狀，每個(gè)部分都是（至少是近似的）整體的縮小/大小的拷貝。分形，來(lái)自拉丁文fractus，意思是斷裂或破碎，指的是一種獨(dú)特的幾何形狀。分形有兩個(gè)明顯的特性：它們傾向于表現(xiàn)出無(wú)限的細(xì)節(jié)，并且在不同的尺度上符合相同的形狀，這一特性被稱為自相似性。分形可以以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，但在現(xiàn)實(shí)生活中也很常見。自然界分形的例子有云、海岸線、閃電、各種蔬菜（如花椰菜和西蘭花）和山。雖然分形幾何的根源可以追溯到19世紀(jì)末，但正是Benoit Mandelbrot在20世紀(jì)60年代和70年代的工作普及了這些概念，并使分形幾何為更多的人所接受[35]。Bovill[36]對(duì)分形幾何在建筑和設(shè)計(jì)中的應(yīng)用做了一個(gè)有趣的描述。

模塊化(最小庫(kù)存和最大多樣性)

模塊化包含了 "最小庫(kù)存和最大多樣性 "的概念。換句話說，從幾個(gè)基本模塊（如兩個(gè)或三個(gè)拼塊形狀）中，有可能出現(xiàn)大量的不同結(jié)構(gòu)（或解決方案）。這一概念與科學(xué)、藝術(shù)和設(shè)計(jì)有關(guān)，在整個(gè)自然界都可以發(fā)現(xiàn)。它為裝飾藝術(shù)和設(shè)計(jì)的創(chuàng)新提供了潛力，在二維重復(fù)圖案和建筑中也很常見。Pearce[28]和Jablan[37]提供了全面的論述。

總結(jié)

在自然界、科學(xué)、藝術(shù)、設(shè)計(jì)、工程和建筑中都可以發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)、形式和性能之間的密切關(guān)系。幾千年來(lái)，思想家們一直在探尋這種相互關(guān)系的秘密。柏拉圖、亞里士多德和畢達(dá)哥拉斯接受了這一挑戰(zhàn)，但他們可能依賴于從古埃及、美索不達(dá)米亞和印度的古代文化中傳達(dá)的知識(shí)體系。結(jié)構(gòu)、形式和性能在現(xiàn)代世界仍然是最重要的。對(duì)這些概念進(jìn)行定性和數(shù)學(xué)定義的必要性在所有層面（納米、微觀和宏觀）都是有意義的。對(duì)自然界在納米水平上的建造的理解可以激勵(lì)人類創(chuàng)造出宏大的宏觀結(jié)構(gòu)，如大地穹頂。最重要的是，我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，某些幾何概念和想法，雖然源自古代，但卻超越了藝術(shù)、科學(xué)、數(shù)學(xué)和設(shè)計(jì)之間的界限。有了洞察力和遠(yuǎn)見，它們?cè)诙皇兰o(jì)仍然具有作為解決問題的設(shè)計(jì)工具的巨大潛力。在獲得對(duì)上述各節(jié)所概述的概念的基本理解后，學(xué)生應(yīng)該能夠?qū)ψ匀话l(fā)生的現(xiàn)象、人類制造的物體、圖像、繪畫、雕塑、圖案、傾斜和其他形式的二維和三維設(shè)計(jì)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。關(guān)于處理設(shè)計(jì)（尤其是產(chǎn)品設(shè)計(jì)）的結(jié)構(gòu)方面的好的、簡(jiǎn)潔的論述，值得參考Eram[20]。本文的附錄中提供了一系列的作業(yè)示例，這些作業(yè)反映了上述的一些主題。在可能的情況下，這些或類似的作業(yè)應(yīng)該與傳統(tǒng)的基于工作室的活動(dòng)相結(jié)合。最重要的是，設(shè)計(jì)教師必須選擇和調(diào)整教學(xué)大綱的材料，以滿足他們自己學(xué)生的要求。

附錄：作業(yè)示例

作業(yè)1：多邊形、頂點(diǎn)和圖案。(a) 使用一對(duì)圓規(guī)、一把尺子和一支鉛筆，精確地畫出一個(gè)六邊形和一個(gè)五邊形。(b) 解釋為什么只有三種柏拉圖密鋪，并提供一個(gè)清晰的、精確繪制的圖示，以及一個(gè)適當(dāng)?shù)姆?hào)。(c) 為八個(gè)阿基米德（或半規(guī)則）密鋪中的每一個(gè)提供精確繪制的圖示。(d) 從任何公布的或觀察到的資料中選擇20個(gè)圖案。列出每個(gè)圖案的對(duì)稱性特征。

作業(yè)2：對(duì)稱性和比例。選擇一張你認(rèn)為非常有吸引力的人臉正面照片。你需要對(duì)這張照片進(jìn)行幾何分析，目的是確定雙側(cè)對(duì)稱的程度以及是否存在符合斐波那契數(shù)列和相關(guān)黃金分割的比例/比率。你可能希望進(jìn)行以下測(cè)量：頭頂?shù)较掳图猓蛔彀椭行牡较掳图?；嘴巴中心到鼻尖；鼻尖到鼻梁；鼻梁到耳朵；鼻梁到瞳孔；瞳孔到瞳孔；鼻孔外?cè)的寬度；瞳孔到睫毛；睫毛到眉毛；眉毛到眉毛；任何其他你認(rèn)為合適的測(cè)量。然后，你可能希望確定這些措施之間是否有任何明顯的關(guān)系。你可能還希望在圖像中央畫一條中間線，并在這條線的左右兩側(cè)測(cè)量特征。一旦測(cè)量和計(jì)算完成 一旦完成測(cè)量和計(jì)算，你需要以表格的形式展示你的數(shù)據(jù)，并簡(jiǎn)要討論你的發(fā)現(xiàn)的意義。

作業(yè)3：圖案的對(duì)稱性。參照?qǐng)DA1中所示的Cn和Dn類主題的示意圖，對(duì)圖A2中所示的主題進(jìn)行分類。

圖A1 Cn和Dn主題的示意圖。

圖A2 Cn和Dn主題的示意圖

作業(yè)4：模塊化和圖案構(gòu)造。你需要制作一組重復(fù)的設(shè)計(jì)，每個(gè)設(shè)計(jì)都是由從一個(gè)規(guī)則的多邊形上切割或繪制的瓷磚元素創(chuàng)造的（六個(gè)設(shè)計(jì)來(lái)自正方形的元素，六個(gè)設(shè)計(jì)來(lái)自等邊三角形的元素，六個(gè)設(shè)計(jì)來(lái)自六邊形的元素）。首先，按照你選擇的尺寸畫一個(gè)正方形。將其切成兩個(gè)或多個(gè)不相等的部分。這樣你就產(chǎn)生了兩個(gè)或多個(gè)不同尺寸的瓷磚。用你選擇的顏色給每塊瓷磚上色。制作多個(gè)副本（通過掃描或復(fù)印每塊彩色瓷磚）。用這兩塊或更多不同形狀的拼塊（按你希望的任何數(shù)字比例）來(lái)創(chuàng)建一個(gè)由六個(gè) 周期性的瓷磚，這些瓷磚無(wú)間隙或重疊地覆蓋在平面上。每個(gè)設(shè)計(jì)必須至少有四次重復(fù)。每個(gè)設(shè)計(jì)都必須是原創(chuàng)的、精確的、明顯不同的，而且不能僅僅依靠比例的變化作為區(qū)分的手段。請(qǐng)自由使用你選擇的計(jì)算軟件。選擇。用一個(gè)正六邊形和一個(gè)等邊三角形重復(fù)這個(gè)過程。圖A3顯示了由一個(gè)等邊三角形和一個(gè)正方形創(chuàng)造的12個(gè)模塊設(shè)計(jì)的例子。

圖A3 由等邊三角形和正方形切割的單元組成的模塊化設(shè)計(jì)

作業(yè)5：為多面體著色。為五個(gè)柏拉圖實(shí)體中的每個(gè)實(shí)體系統(tǒng)地著色所需的最少顏色數(shù)是多少？你的答案必須符合這樣的規(guī)則：有共同邊緣的兩個(gè)面不允許有相同的顏色。請(qǐng)?zhí)峁?biāo)示清晰、畫法準(zhǔn)確的插圖。

參考文獻(xiàn)

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