上篇介紹了有限元的一些基本要素，本篇將著重介紹多物理場中的有限元。

-----什么是多物理場-----

工程領(lǐng)域的多物理場通常是指宏觀領(lǐng)域的物理場，包括電磁，流體，結(jié)構(gòu)，熱，聲，光（光本質(zhì)上屬電磁）等等，偏向于工程應(yīng)用領(lǐng)域。需要和理論物理中的四大物理場（微觀領(lǐng)域的強(qiáng)力，弱力，以及電磁力和天體的萬有引力）相區(qū)別。

-----形函數(shù)，基函數(shù)，伽遼金-----

伽遼金，俄羅斯人，伽遼金方法一如俄羅斯的武器，便宜，耐用，適應(yīng)能力強(qiáng)，保養(yǎng)簡單。

形函數(shù)（shape function）是用一個(gè)試探性的函數(shù)來表達(dá)單元內(nèi)的偏微分方程，通常取多項(xiàng)式。

基函數(shù)（basis function）是用來表達(dá)一個(gè)單元內(nèi)的物理量的坐標(biāo)表達(dá)式。

伽遼金方法是加權(quán)余量法的一種（加權(quán)余量包括 配點(diǎn)法 子域法 矩量法 最小二乘法 伽遼金法），將形函數(shù)和基函數(shù)設(shè)為相同，同時(shí)將偏微分方程強(qiáng)形式變成弱形式，降低了求解限制，對于非連續(xù)介質(zhì)，只要在插值點(diǎn)滿足要求即可，提高了其適用范圍。相對于其他方法，伽遼金方法最終生成的線性方程組的系數(shù)矩陣，稀疏對稱，更容易求解。簡單講，伽遼金方法簡化了有限元方法使用門檻，搭建起了有限元數(shù)值理論到軟件實(shí)現(xiàn)的橋梁，成為早期商業(yè)軟件實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)。

-----等參單元/高斯積分-----

等參單元：劃分網(wǎng)格后，一般網(wǎng)格并不是標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格（等邊三角形，等邊四面體或者立方體），直接使用形函數(shù)會(huì)造成計(jì)算上的困難，所以通常使用一個(gè)新標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格來代替原有網(wǎng)格，并在標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格和原有網(wǎng)格之間建立映射關(guān)系，新的網(wǎng)格稱為等參單元。

高斯積分：在使用等參單元后，會(huì)有很多定積分需要求解，通常方法是在積分區(qū)域內(nèi)按照一定規(guī)則選出一些點(diǎn)，稱為積分點(diǎn)，算出被積函數(shù)在積分點(diǎn)的值，然后再乘以加權(quán)系數(shù)作為近似積分值。高斯積分是精度最高的一種方法。這也是為什么很多有限元軟件（比如ABAQUS），最終結(jié)果并不在頂點(diǎn)上，而是在積分點(diǎn)上，需要注意轉(zhuǎn)換。

-----顯示算法/隱式算法/穩(wěn)態(tài)/瞬態(tài)/動(dòng)力-----

顯示算法/隱式算法在比較結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析方法中比較常見，顯示算法中的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)主要由前兩部決定，不需要求解整體剛度矩陣，適合大規(guī)模并行計(jì)算，ABAQUS Explicit和LSDYNA主要使用顯式方法。

通常說的穩(wěn)態(tài)指沒有時(shí)間項(xiàng)的計(jì)算，物理場處于平衡不變化的狀態(tài)。

瞬態(tài)/動(dòng)力 中有時(shí)間項(xiàng)，即物理量隨時(shí)間變化而變化，溫度熱傳導(dǎo)，沖擊荷載，結(jié)構(gòu)振動(dòng)，電磁時(shí)域都是和時(shí)間相關(guān)。常用求解方法是將時(shí)間離散，求解每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的狀態(tài)。時(shí)間的離散步長需要根據(jù)實(shí)際情況計(jì)算，時(shí)間步長過大，求解不精確，過小，浪費(fèi)計(jì)算資源。

看幾個(gè)多物理場例子

-----被風(fēng)吹塌的橋（流體，結(jié)構(gòu)，振動(dòng)）-----

塔科馬海峽吊橋（英語：Tacoma Narrows Bridge）是位于美國華盛頓州塔科馬的兩條懸索橋，橫跨塔科馬海峽，第一座橋于1940年建成，但不到五個(gè)月便倒塌，公認(rèn)的直接原因是橋梁在受到強(qiáng)風(fēng)的吹襲下引起卡門渦街，使橋身擺動(dòng)，當(dāng)卡門渦街的振動(dòng)頻率和吊橋自身的固有頻率相同時(shí)，引起吊橋劇烈共振而崩塌，這次事件成為研究空氣動(dòng)力學(xué)卡門渦街引起建筑物共振破壞力的活教材，也被記載為20世紀(jì)最嚴(yán)重的工程設(shè)計(jì)錯(cuò)誤之一。而事故的根本原因是節(jié)省成本，減少橋面厚度所引起的剛度降低，雖然橋梁整體強(qiáng)度毫無問題，但是剛度降低破壞了整體穩(wěn)定，無形中增加了風(fēng)載造成的沖擊，為事故埋下了隱患；事實(shí)上即使橋梁不被吹垮，長期經(jīng)受高強(qiáng)度的沖擊荷載，其使用壽命也會(huì)大大降低！

卡門渦街是流體力學(xué)中重要的現(xiàn)象，在自然界中?？捎龅剑谝欢l件下的定常流體繞過某些物體時(shí)，物體兩側(cè)會(huì)周期性地脫落出旋轉(zhuǎn)方向相反、排列規(guī)則的雙列線渦，經(jīng)過非線性作用后，形成卡門渦街。如水流過橋墩，風(fēng)吹過高塔、煙囪、電線等都會(huì)形成卡門渦街。常用的CFD軟件中都會(huì)用卡門渦街作為基準(zhǔn)測試建立標(biāo)準(zhǔn)算例。

-----NVH（聲音，振動(dòng)，聲振舒適度）-----

NVH是衡量汽車舒適度的一個(gè)重要指標(biāo)，在中國，隨著家庭汽車越來越多，NVH（Noise、Vibration、Harshness）在汽車研發(fā)中成為熱門研究內(nèi)容，汽車行業(yè)的火爆可是說是NVH發(fā)展的重要推手。有統(tǒng)計(jì)資料顯示，整車約有1/3的故障問題是和車輛的NVH問題有關(guān)系，而各大公司有近20%的研發(fā)費(fèi)用消耗在解決車輛的NVH問題上。

-----任正非采訪（熱分析）-----

華為老總?cè)握窃谝淮谓邮懿稍L時(shí)表示散熱和發(fā)熱機(jī)理可能是電子技術(shù)最核心的競爭力

“芯片越來越小，元器件越來越集中，硬件工程、電子工藝最大的問題就是散熱。有專家表示，未來50%的能源將消耗在芯片上，散熱和發(fā)熱機(jī)理也可能是電子技術(shù)最核心的競爭力”，未來電子產(chǎn)品不僅要進(jìn)行電磁兼容，電源完整，信號完整，機(jī)械強(qiáng)度等仿真，散熱分析更會(huì)成為重中之重。

-----1億是1千萬的10倍？-----

早期筆者使用矩量法求解線性方程組，在不使用快速多級方法，自由度達(dá)到3萬時(shí)，臺(tái)式機(jī)上已經(jīng)無法求解出，8G的機(jī)器內(nèi)存不夠用。對于滿秩矩陣的線性方程組，常規(guī)求解方法時(shí)間復(fù)雜度為n^3(n的3次方)。

對于自由度1千萬以下稀疏矩陣的求解，好的臺(tái)式機(jī)基本能應(yīng)付，而當(dāng)自由度達(dá)到1億的時(shí)候，簡單的將硬件乘以10倍完全不能滿足要求。因?yàn)橛?jì)算的空間復(fù)雜度，時(shí)間復(fù)雜度并不是線性，通常是NlogN，N^2或者更高。當(dāng)自由度達(dá)到1億時(shí)，不僅需要對硬件核心部件CPU，內(nèi)存擴(kuò)容，而且在磁盤陣列，I/O，并發(fā)計(jì)算，GPU，網(wǎng)絡(luò)，帶寬等方面都提出了更苛刻的要求。

在算法方面看，減少網(wǎng)格密度，在物理量梯度大的地方加密，無變化的地方將網(wǎng)格變稀疏，可以有效減少計(jì)算量；另外優(yōu)化求解算法本身，使其更加易于并行化計(jì)算。

從目前來看，計(jì)算機(jī)硬件計(jì)算能力的更新速度，跟不上指數(shù)級求解規(guī)模的增加速度。這也是量子力學(xué)發(fā)展的最大推動(dòng)力！

-----設(shè)計(jì)和優(yōu)化-----

關(guān)于設(shè)計(jì)和優(yōu)化，之前談過很多。在工程項(xiàng)目中，有限元方法仿真只是其中一環(huán)，即對模型進(jìn)行計(jì)算得到仿真結(jié)果。按照ANSYS的說法，多物理場仿真僅僅停留在第二個(gè)層次（第一層次是單物理場仿真）。ANSYS現(xiàn)在關(guān)注更高第三層次的設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)仿真 和 第四層次的業(yè)務(wù)驅(qū)動(dòng)仿真。簡單講設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)仿真讓仿真來決定設(shè)計(jì)，而業(yè)務(wù)驅(qū)動(dòng)仿真則是讓仿真決定業(yè)務(wù)，之前做過詳細(xì)介紹，可以查看歷史文章。

其實(shí)按照目前的水平，在世界范圍內(nèi)，能做到第三層次即仿真驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)，或者優(yōu)化設(shè)計(jì)，已經(jīng)是把仿真做的相當(dāng)不錯(cuò)了！

-----不同物理場的有限元方法一樣嗎-----

理論基礎(chǔ)一樣，但實(shí)現(xiàn)方法不一樣

有限元的核心之一在于對形函數(shù)的選擇，也就是形函數(shù)要能準(zhǔn)確表達(dá)PDE以及邊界條件。以電磁單元為例，早期使用和結(jié)構(gòu)相同的三角面片單元（自由度在定點(diǎn)），但是在計(jì)算邊界的時(shí)候發(fā)現(xiàn)電磁場不滿足連續(xù)條件，后來發(fā)明了矢量單元（自由度在邊上）來解決這個(gè)問題，形函數(shù)和結(jié)構(gòu)分析使用的形函數(shù)不同。

再比如熱分析需要對環(huán)境溫度進(jìn)行定義，電磁分析需要設(shè)定吸收邊界（物體到吸收邊界區(qū)域也需要?jiǎng)澐志W(wǎng)格），而結(jié)構(gòu)中則不需要。結(jié)構(gòu)分析中常見的沙漏，自鎖，電磁分析中因?yàn)樽赃m應(yīng)網(wǎng)加密數(shù)目過少造成的偽解，CFD邊界層網(wǎng)格沒有加密造成的求解誤差過大，都是由各自不同物理場的特點(diǎn)決定的。

-----說說COMSOL-----

COMSOL是名至實(shí)歸的多物理場軟件，在前處理方面提供了多種物理場建模功能，同時(shí)可以自定義偏微分方程，求解偏微分方程，這是其它軟件無法比擬的的。COMSOL作為學(xué)習(xí)，科研絕對是利器！所以在高校推廣的特別好，在研究所研究院也有相當(dāng)?shù)氖袌?！But，在工程領(lǐng)域，COMSOL拓展的比較艱難。這也是本人經(jīng)常說到的一個(gè)問題，軟件只是工具，一旦涉及到工程領(lǐng)域，軟件必須要能解決實(shí)際問題。從工程角度看，COMSOL就像是一個(gè)大雜燴，似乎什么都能做，但什么都做不精通！涉及電磁電子有專業(yè)的EDA工具，做結(jié)構(gòu)有老牌的ANSYS，ABAQUS，空氣動(dòng)力飛行器有老牌的NASTRAN，流體Fluent，Star-CD，材料化學(xué)有VASP，MS。

綜合來看COMSOL和MATLAB屬于同一類型的產(chǎn)品，著重在于研究解決某個(gè)點(diǎn)上的問題，而非解決綜合工程問題

后記

在仿真軟件（CAD/CAE/EDA/CFD）開發(fā)工作中，發(fā)現(xiàn)很多軟件研發(fā)測試人員沒有工科背景，缺乏對有限元基礎(chǔ)知識的了解，所以一直以來想寫一篇不需要用積分求導(dǎo)公式的有限元科普文，希望該篇文章能有所幫助。