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1 解數(shù)學(xué)題也可以如游戲般快樂。 最小公倍數(shù)是什么？也許不需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式，通過一個(gè)簡單游戲就能理解。規(guī)則如下：每過24秒拍一下手，每過45秒跳一下，那么到第幾秒既拍手又跳躍呢？下面視頻中提供的游戲不僅能讓人懂得最小公倍數(shù)的意義，還能學(xué)會(huì)計(jì)算方法。  視頻來源：https://www./watch?v=HdE5LRyomVY&t=197s 是的，解數(shù)學(xué)題可以如游戲般歡樂。這段視頻出自美國在線數(shù)學(xué)教育平臺(tái)“問題解決之道”（Art of Problem of Solving，以下簡稱AoPS）。而我們在視頻中看到的那位手舞足蹈、語速飛快的老師正是該平臺(tái)創(chuàng)始人Richard Rusczyk。 時(shí)至今日，AoPS運(yùn)營了整整18年，儼然成為了大批數(shù)學(xué)高手的“快樂老家”，活躍在網(wǎng)站論壇上的人們有著以下共同特點(diǎn)：從小在數(shù)學(xué)方面天賦異稟，癡迷數(shù)學(xué)，熱衷解決數(shù)學(xué)問題，渴望挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)難題。而他們的領(lǐng)頭人Richard Rusczyk恰恰符合所有這些特征。年少時(shí)，他曾致力于數(shù)學(xué)競賽，大學(xué)后創(chuàng)建過自己的數(shù)學(xué)競賽圈，職業(yè)道路幾經(jīng)波折，最終仍然實(shí)現(xiàn)了一邊歡樂探索數(shù)學(xué)，一邊實(shí)踐數(shù)學(xué)教育的理想。  Richard Rusczyk出生在美國愛達(dá)荷福爾斯（Idaho Falls），從小跟隨作為核工程師的父親輾轉(zhuǎn)全美各地的學(xué)校。年幼的他熱愛籃球，還喜歡鉆研棒球統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，這恰恰是他走入數(shù)學(xué)天地的起點(diǎn)。到了七年級，他的母親給他報(bào)名參加美國初中生數(shù)學(xué)競賽MathCounts，結(jié)果表現(xiàn)非常出色，同時(shí)還結(jié)交到了不少數(shù)學(xué)同好。兩年之后，一家人定居至阿拉巴馬州，在那里他再次參加MathCounts，最終獲得全國總決賽第24名的好成績。 自此之后，Rusczyk成為高中數(shù)學(xué)競賽隊(duì)的明星，不僅和團(tuán)隊(duì)一起參加美國東南地區(qū)的各項(xiàng)賽事，還以個(gè)人身份參加美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)舉辦的一系列全國競賽American Mathematics Competitions。他的競賽之路一帆風(fēng)順，家中的書架上擺滿了參賽緞帶和獎(jiǎng)杯。他本人也親口承認(rèn)“就是喜歡收集數(shù)學(xué)獎(jiǎng)杯?！背霜?jiǎng)杯這一收獲之外，數(shù)學(xué)競賽也讓Rusczyk接觸到了學(xué)校常規(guī)課本之外的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，沉迷于解題的樂趣。 1987年，當(dāng)時(shí)已是高二的Rusczyk受邀參加美國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)營。這個(gè)夏令營每年夏天在西點(diǎn)軍?；蚝＼妼W(xué)院舉辦（如今由卡內(nèi)基梅隆大學(xué)（Carnegie Mellon University）統(tǒng)一舉辦），為期一個(gè)月的封閉式訓(xùn)練，以選出最優(yōu)秀的學(xué)生組成國家隊(duì)，代表美國參加每年七月的國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（International Mathematic Olympiad，以下簡稱IMO）。 自認(rèn)為數(shù)學(xué)天賦滿點(diǎn)的Rusczyk躊躇滿志地踏入西點(diǎn)軍校，準(zhǔn)備大干一場。然而，也就是這次集訓(xùn)營，讓他第一次在自己最擅長的領(lǐng)域品嘗到了深深的挫敗感，也意識(shí)到自己對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)多么局限。多年以后，他在AoPS官網(wǎng)上坦誠講述了自己的當(dāng)年經(jīng)歷：
正是這次痛苦的失敗經(jīng)歷讓Rusczyk反思了解題技巧和數(shù)學(xué)題之間的關(guān)系。很多學(xué)生對數(shù)學(xué)的“糟糕”印象往往是：一周學(xué)會(huì)套路→考試用上套路→考完很快忘記。MOP的失敗讓他意識(shí)到，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程并不是 “記住公式，解答為公式量身定做的題目”，實(shí)際上，真正成功的數(shù)學(xué)家知道如何靈活運(yùn)用少量的公式去解答靈活多變的數(shù)學(xué)題。 領(lǐng)悟到這一點(diǎn)以后，Rusczyk逐漸轉(zhuǎn)變了對數(shù)學(xué)的態(tài)度。在高中最后一年，他開始自主研究一些數(shù)學(xué)證明，對數(shù)學(xué)概念有了更深刻的理解。此后，他還兩次參加集訓(xùn)營，最后一次有幸成為替補(bǔ)隊(duì)員，不過最后因病遺憾地提前離隊(duì)，無緣IMO。不過，這并不妨礙他到高中畢業(yè)時(shí)，躋身全國數(shù)學(xué)最頂尖前八名高中生。 雖然Rusczyk始終沒能進(jìn)入國家隊(duì)，但也帶來了意外收獲：集訓(xùn)之余的籃球活動(dòng)讓他結(jié)交到了一眾數(shù)學(xué)摯友，包括同樣來自南方的Sam Vandervelde（獲1989年IMO銀牌），Jordan Ellenberg（獲1987、1989年IMO金牌，1988年IMO銀牌）和Sandor Lehoczky。在和他們的交往中，Rusczyk明白了自己和這幫數(shù)學(xué)天才之間的差異：他的朋友們都是發(fā)自內(nèi)心的，真正熱愛思考抽象的數(shù)學(xué)問題，而他喜歡數(shù)學(xué)，更多是出于競爭心理，或?yàn)榱私Y(jié)識(shí)朋友。 高中畢業(yè)后，Rusczyk進(jìn)入數(shù)學(xué)系超強(qiáng)的普林斯頓大學(xué)?？赡芟惹叭鋈M(jìn)集訓(xùn)營的失敗經(jīng)歷耗盡了他對數(shù)學(xué)的熱情，Rusczyk覺得自己可能并沒有處理數(shù)學(xué)抽象理論的創(chuàng)造力，此外，他還懷疑自己是否有耐心將一生奉獻(xiàn)給數(shù)學(xué)研究——因此，他選擇了化學(xué)工程專業(yè)。 在有機(jī)化學(xué)課上，Rusczyk觀察到，學(xué)生基本分為兩派，一派學(xué)得很開心，一派學(xué)得很痛苦。開心派相信，有機(jī)化學(xué)的大部分內(nèi)容都可以從極少數(shù)的基本原則中推導(dǎo)出來，做到化繁為簡；而更多的學(xué)生則將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都視為需要記憶的新內(nèi)容，越學(xué)越多，越多越記不住，深陷知識(shí)點(diǎn)的“泥潭”而痛苦不堪。無疑，前者將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的解題能力遷移到了化學(xué)學(xué)習(xí)上，后者則不管走到哪里，都反復(fù)不斷地使用死記硬背的方法。 當(dāng)然，學(xué)業(yè)之余，Rusczyk也沒有徹底告別數(shù)學(xué)競賽。獨(dú)樂樂不如眾樂樂，他和集訓(xùn)營的小伙伴們到處發(fā)郵件，邀請高中生們參加他們組織的“曼德博競賽”（Mandelbrot Competition），以紀(jì)念分形理論之父本華·曼德博（Benoit Mandelbrot）。競賽結(jié)果讓他們意外發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：參賽選手們的得分普遍偏低，對他們來說題目太難了。但為什么會(huì)這樣？Rusczyk和同在普林斯頓的Lehoczyk經(jīng)過討論，得出結(jié)論：在美國，大部分中小學(xué)生除了接受基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育之外，并沒有很多機(jī)會(huì)接觸到更加復(fù)雜高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)資源分配并不均勻，而且不同地區(qū)數(shù)學(xué)老師的教學(xué)質(zhì)量也良莠不齊。對于年輕的數(shù)學(xué)愛好者，他們可能沒有聽說過什么數(shù)學(xué)競賽，也不知道那些精英級的數(shù)學(xué)夏令營活動(dòng)。而Rusczyk在集訓(xùn)營碰到的許多天才選手，他們都有自己的小圈子，或跟隨優(yōu)秀的大學(xué)數(shù)學(xué)老師學(xué)習(xí)，或在具有濃厚數(shù)學(xué)文化的特殊學(xué)校學(xué)習(xí)，有機(jī)會(huì)比許多其他同齡人更早接觸高等數(shù)學(xué)概念。 認(rèn)識(shí)到這樣的差異，Rusczyk和Lehoczyk決定寫書，讓更多人——尤其是數(shù)學(xué)愛好者——有機(jī)會(huì)學(xué)到高級的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)問題解決水平。經(jīng)過一番努力，1993年，兩位大學(xué)生自費(fèi)出版了如今頗有名氣的The Art of Problem Solving（《解題的藝術(shù)》），分為上下兩冊。這套書的教學(xué)對象是廣大中小學(xué)生，在序言中，Rusczyk直抒教材的真正目的，強(qiáng)調(diào)思維能力的重要性：
The Art of Problem Solving，2019最新版丨來源：Amazon 同年秋天，Rusczyk開始在斯坦福大學(xué)攻讀化工專業(yè)的博士學(xué)位，但很快就發(fā)現(xiàn)自己并不適合科研生活。開學(xué)后僅8周，Rusczyk就退學(xué)了，之后，他驅(qū)車拜訪當(dāng)?shù)刂行W(xué)，一邊銷售自己的教材，一邊尋找數(shù)學(xué)老師的職位，最終受聘于一所小型私立小學(xué)。沒過多久，他又發(fā)現(xiàn)自己也不適合當(dāng)一名常規(guī)的數(shù)學(xué)老師。雖然他熱愛教學(xué)，但要吸引本來就對數(shù)學(xué)不感興趣的學(xué)生，難度太大。與之相比，他更喜歡與熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生打交道，而銷售自己的The Art of Problem Solving能接觸到真正的數(shù)學(xué)愛好者。于是，第二年夏天，他離開了教師崗位，出發(fā)去尋找熱愛數(shù)學(xué)的人。 愛數(shù)學(xué)的大腦都在哪兒？上世紀(jì)90年代中期，華爾街是匯聚全國頂尖數(shù)學(xué)人才的寶地，Rusczyk自然也被吸引。他進(jìn)入對沖基金D.E.Shaw工作，非常享受債券交易的快樂時(shí)光。不過，他的內(nèi)心始終沒有放下建立自己事業(yè)的念頭。1998年金融危機(jī)之后，他辭去工作，這次卻不急于謀求新職位，而是和妻子Vanessa搬去了加州圣迭戈郊區(qū)定居。那里有優(yōu)美的森林環(huán)境，他們又養(yǎng)了三頭小毛驢，還變成了狂熱的徒步愛好者。與此同時(shí)，他重拾少年時(shí)代最重要的愛好：鉆研奧數(shù)競賽題。 1990年代末，互聯(lián)網(wǎng)熱潮掀起，Rusczyk開始嘗試制作一些在線教學(xué)課程，并思考事業(yè)發(fā)展的各種可行方案。2003年，31歲的Rusczyk沿用自己首套教材的名稱，正式創(chuàng)立網(wǎng)站（以下簡稱AoPS）。他創(chuàng)建了在線社區(qū)，在上面發(fā)布各種數(shù)學(xué)競賽題，展開互動(dòng)教學(xué)課程。區(qū)別于其他教育者，Rusczyk的教師經(jīng)歷讓他明確了自己的教學(xué)對象，主要關(guān)注對數(shù)學(xué)興趣強(qiáng)烈、能力又出眾的學(xué)生。同時(shí)他早已看到，在現(xiàn)實(shí)生活中，即使能力相同，對數(shù)學(xué)抱有同樣熱情的學(xué)生，可能會(huì)因?yàn)槿嗣}資源的多寡不同，彼此之間差距越拉越大，很是可惜。因此，Rusczyk以網(wǎng)站平臺(tái)為基礎(chǔ)，想方設(shè)法彌補(bǔ)不同學(xué)生之間的差異，讓他們都能公平地獲得相同的數(shù)學(xué)資源。 網(wǎng)絡(luò)無國界，很快，世界各地的數(shù)學(xué)愛好者紛紛前來社區(qū)灌水，討論數(shù)學(xué)題、相互激勵(lì)，帖子里到處是數(shù)學(xué)人獨(dú)特的俏皮話。華裔數(shù)學(xué)家趙宇飛就屬于最早的一批社區(qū)成員，他曾三次參加IMO，分別于2005、2006、2004年獲得金銀銅牌，如今已是麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)教授。趙宇飛回憶自己上高中時(shí)，回家第一件事就是登陸Rusczyk的社區(qū)論壇，看看有沒有什么新鮮話題。 與網(wǎng)站一同成長的還有Rusczyk的教學(xué)視頻。最開始，Rusczyk發(fā)布的免費(fèi)視頻內(nèi)容主要是即興演說。本文開頭講述的數(shù)學(xué)游戲即來自著名的《最小公倍數(shù)》（Least Common Multiple）。作為數(shù)學(xué)老師，Rusczyk出鏡時(shí)穿過各種顏色的T恤，但偶爾也會(huì)跳脫出正經(jīng)形象，深色連帽衫、墨鏡，口中念念有詞，搖身一變?yōu)閿?shù)學(xué)界的說唱家。其實(shí)，這一切的目的都在于引導(dǎo)學(xué)生以實(shí)驗(yàn)般大膽無畏的精神“游戲”數(shù)學(xué)領(lǐng)域。 除了游戲精神外，Rusczyk還認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有時(shí)候和學(xué)習(xí)樂器和體育運(yùn)動(dòng)一樣，天賦型選手越早開始訓(xùn)練，日后所取得的成就也越多。因?yàn)閷τ谫N上“數(shù)學(xué)天才”標(biāo)簽的孩子們，人們往往有一種刻板印象，覺得他們似乎不需要努力，就能學(xué)好數(shù)學(xué)，所以“天才不用苦學(xué)”。其實(shí)不然，Rusczyk自己的求學(xué)經(jīng)歷讓他時(shí)刻準(zhǔn)備面對各種難題，天才也要努力才能更上一層樓，同樣，也會(huì)面臨失敗的打擊。這也反映了AoPS的另一重要理念：哪怕是數(shù)學(xué)天才般的學(xué)生，也要正?？创缙诘目鄬W(xué)和失敗，跌倒和成長都沒有問題，絲毫不用避諱。 少年時(shí)代，Rusczyk曾在一場數(shù)學(xué)講座中聽到了“隨機(jī)游走”問題（Random Walk Problem）：從某一點(diǎn)出發(fā)，每走出一步都是隨機(jī)的（例如通過拋硬幣決定前進(jìn)方向）最終會(huì)走出一條蜿蜒路徑，經(jīng)過一段時(shí)間之后，離起點(diǎn)的距離是多遠(yuǎn)？匈牙利數(shù)學(xué)家George Polya假設(shè)一維簡單隨機(jī)游走每一步向左和向右的概率均為0.5，證明了質(zhì)點(diǎn)返回原點(diǎn)的概率為 1，也就是說，如果你不斷重復(fù)拋硬幣，經(jīng)過許多許多步后，你走回起點(diǎn)的概率是100%。 后來，Rusczyk和Lehoczky經(jīng)常在街頭玩“隨機(jī)游走”，讓硬幣帶來意外之喜。而Rusczyk還有另一番感悟，他認(rèn)為隨機(jī)游走似乎隱喻了自己從小到大與數(shù)學(xué)忽遠(yuǎn)忽近的關(guān)系?！白罱K，我確實(shí)回到了起點(diǎn)?！眲?chuàng)建AoPS無疑是回歸了自己熱衷解數(shù)學(xué)題的初心。 不過，Rusczyk從不認(rèn)為AoPS僅僅是為了“教授數(shù)學(xué)”而創(chuàng)立的。他們走得更遠(yuǎn)：“發(fā)現(xiàn)、鼓勵(lì)并培養(yǎng)下一代會(huì)解決問題的人?！痹诠倬W(wǎng)上，Rusczyk親自寫下了他心目中的解題理念：
參考資料 [1] https:///wiki/index.php/Problem_solving |
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