【原】重慶市南開(kāi)中學(xué)2022屆高三上第5次月考第8題：橢圓的離心率

云師堂 2022-02-04

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繼續(xù)過(guò)年，繼續(xù)放肆，繼續(xù)折磨毫不心疼的自己。

圓錐曲線當(dāng)然可以單獨(dú)命題，也可以內(nèi)部混合命題，諸如圓與橢圓、橢圓與雙曲線、橢圓與拋物線、雙曲線與拋物線等等。圓錐曲線間的關(guān)系要比直線與圓錐曲線的關(guān)系復(fù)雜得多，命題者深諳其道。所以這樣的試題更有含金量，也更能打動(dòng)人心。

2022屆南開(kāi)中學(xué)高三上第五次月考的第8題就是這樣：橢圓中混入拋物線，二者水乳交融、如膠似漆。這樣的試題不難，但卻很唬人。畢竟單一的一種曲線都能令人望而卻步，何況二者的結(jié)合呢。

本題沒(méi)得分未必是題目的問(wèn)題，也許心理問(wèn)題的成分更大。

關(guān)于心理因素，我沒(méi)有更好的答案。我在面對(duì)陌生時(shí)也會(huì)緊張，也會(huì)露怯，但在熟悉的地方就能肆無(wú)忌憚。不是每個(gè)人都有處變不驚、見(jiàn)怪不怪的定力。我唯一能做的就是，遇上時(shí)盡量保持優(yōu)雅的姿勢(shì)——放棄。但你不是我，我也不是你。

涉及到線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，弦長(zhǎng)公式怎么能錯(cuò)過(guò)。法1，反設(shè)直線，聯(lián)立拋物線得到韋達(dá)定理；然后代入弦長(zhǎng)公式，得到基本量之間的關(guān)系即可求得離心率。整個(gè)操作過(guò)程一氣呵成，如行云流水般自然。

這里反設(shè)直線沒(méi)能討著便宜，看似聯(lián)立方程簡(jiǎn)單了，但弦長(zhǎng)公式卻復(fù)雜了。好在我沒(méi)有投機(jī)取巧的念頭，只不過(guò)是養(yǎng)成了習(xí)慣。你看，我也一樣會(huì)“思維定勢(shì)”，沒(méi)什么了不起。

總的來(lái)說(shuō)，本題相當(dāng)不錯(cuò)：結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，難度適中，考點(diǎn)突出，前呼后應(yīng)。命題者是花了心思的，不像那些簡(jiǎn)單拼湊的試題，還沒(méi)打醬油就開(kāi)始領(lǐng)盒飯。

遇到長(zhǎng)度問(wèn)題，直線的參數(shù)方程怎可視而不見(jiàn)。還是那句話，參數(shù)方程已經(jīng)不再是高中考試的內(nèi)容，請(qǐng)慎重。

直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是有向線段的數(shù)量，其絕對(duì)值就是線段的長(zhǎng)度，這便是法2的理論依據(jù)。

法1與法2，一個(gè)是直線普通方程的應(yīng)用，一個(gè)是直線參數(shù)方程的應(yīng)用。從形式上看，二者沒(méi)有多大差別。這并非是方程本身的問(wèn)題，而是題目的問(wèn)題，千萬(wàn)不要誤會(huì)。直線的參數(shù)方程是解析幾何發(fā)展的巔峰，在解決許多難題都有輝煌的表現(xiàn)。我曾經(jīng)介紹過(guò)，未來(lái)也不會(huì)回避。