專(zhuān)題練習(xí)：等腰三角形

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1．若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，則它的周長(zhǎng)為(A)

A. 12　　　　　　  B. 9

C. 12或9　　　　  D. 9或7

2．如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱(chēng)這個(gè)三角形為“智慧三角形”．下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是(D)

A. 1，2，3　  B. 1，1，

C. 1，1，　  D. 1，2，

3．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角度數(shù)為(D)

A. 60°　　　  B. 120°

C. 60°或150°　　　  D. 60°或120°

4．下面給出的幾種三角形：①有兩個(gè)角為60°的三角形；②三個(gè)外角都相等的三角形；③一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形；④有一個(gè)角為60°的等腰三角形．其中一定是等邊三角形的有(B)

A. 4個(gè)　　　  B. 3個(gè)

C. 2個(gè)　　　  D. 1個(gè)

(第5題圖)

5．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D，下列四個(gè)結(jié)論：

①EF＝BE＋CF；

②∠BOC＝90°＋∠A；

③點(diǎn)O到△ABC各邊的距離相等；

④設(shè)OD＝m，AE＋AF＝n，則S_△AEF＝mn.

其中正確的結(jié)論是(　A　)

A. ①②③　　　　　　　　　  B. ①②④

C. ②③④　　　　　  D. ①③④

(第6題圖)

6．如圖，在△ABC中，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O.給出下列三個(gè)條件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件組合可判定△ABC是等腰三角形(用序號(hào)寫(xiě)出一種情形)：①③或②③．

7．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ ABC＝45°，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，連結(jié)CD，則線段CD的長(zhǎng)為__或__．

(第8題圖)

8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE⊥BC，交線段AB于點(diǎn)F.請(qǐng)找出一組相等的線段(AB＝AC除外)并加以證明．

解：AD＝AF.證明如下：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵DE⊥BC，

∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，

∴∠BFE＝∠D.

∵∠BFE＝∠DFA，

∴∠DFA＝∠D，

∴AF＝AD.

拓展提高

(第9題圖)

9．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是∠ABC的平分線BD上一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，線段BP的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，垂足為Q.若BF＝2，則PE的長(zhǎng)為(B)

A. 2　　  B.

C. 2　　  D. 3

10．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝BC，則△ABC底角的度數(shù)為(D)

A. 45°　　  B. 75°

C. 60°　　  D. 45°或75°

11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(，)，B(3，3)，動(dòng)點(diǎn)C在x軸上，若以A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為(B)

A. 2　　　　　　　  B. 3

C. 4　　　　　　　　  D. 5

12．如圖，等腰△ABC紙片(AB＝AC)可按圖中所示方法折成一個(gè)四邊形，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，則在原等腰△ABC中，∠B＝72度．

(第12題圖)

(第13題圖)

13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC與∠DCB的平分線相交于點(diǎn)H，過(guò)H作AD的平分線交AB于E，交CD于F.若BE＝3，CF＝2，則EF＝__5__．

14．如圖，已知∠AOB＝α，在射線OA，OB上分別取點(diǎn)OA＝OB₁，連結(jié)AB₁，在B₁A，B₁B上分別取點(diǎn)A₁，B₂，使B₁B₂＝B₁A₁，連結(jié)A₁B₂，…，按此規(guī)律下去，記∠A₁B₁B₂＝θ₁，∠A₂B₂B₃＝θ₂，…，∠A_nB_nB_n＋1＝θ_n，則：

(1)θ₁＝；(2) θ_n＝．

,(第14題圖))

15．在如圖所示的鋼架中，焊上等長(zhǎng)的13根鋼條來(lái)加固鋼架．若AP₁＝P₁P₂＝P₂P₃＝…＝P₁₃P₁₄＝P₁₄A，則∠A的度數(shù)是__12°__．

,(第15題圖))

16．如圖，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫(huà)圖：

以點(diǎn)A為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OC于點(diǎn)A₁，得第1條線段AA₁；

再以點(diǎn)A₁為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OB于點(diǎn)A₂，得第2條線段A₁A₂；

再以點(diǎn)A₂為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OC于點(diǎn)A₃，得第3條線段A₂A₃；

……

這樣畫(huà)下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫(huà)出符合要求的線段了，則n＝__9__．

,(第16題圖))

17．如圖，已知點(diǎn)A(3，0)，B(0，4)，C為x軸上一點(diǎn)．

(1)畫(huà)出等腰三角形ABC.

(2)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．

,(第17題圖))

解：(1)如解圖．

,(第17題圖解))

(2)①當(dāng)A是頂點(diǎn)時(shí)，C₁(－2，0)，C₂(8，0)，

②當(dāng)B是頂點(diǎn)時(shí)，C₃(－3，0)

③當(dāng)C是頂點(diǎn)時(shí)，C₄.

(第18題圖)

18．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，M為AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME，MD，ED.

(1)求證：△MED為等腰三角形．

(2)求證：∠EMD＝2∠DAC.

解：(1)證明：∵M為AB邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，BE⊥AC，

∴ME＝AB，MD＝AB，

∴ME＝MD，

∴△MED為等腰三角形．

(2)∵ME＝AB＝MA，

∴∠MAE＝∠MEA，

∴∠BME＝2∠MAE.

同理，MD＝AB＝MA，

∴∠MAD＝∠MDA，

∴∠BMD＝2∠MAD，

∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.

(第19題圖)

19．如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CA.

(1)求證：DE平分∠BDC.

(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC＝DM，求證：ME＝BD.

解：(1)證明：∵△ABC為等腰Rt△，

∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°.

∵∠CAD＝∠CBD＝15°，

∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.

又∵CA＝CB，∴△BDC≌△ADC(SAS)．

∴∠DCA＝∠DCB.

又∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°.

∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，

∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.

(第19題圖解)

(2)如解圖，連結(jié)MC.

∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，

∴△MDC是等邊三角形，

∴CM＝CD.

又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，

∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，

∴∠EMC＝∠ADC.

又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.

∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.