中考數(shù)學(xué)壓軸題分析：斜邊中線與新定義問題

一個大風(fēng)子 2022-01-04

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預(yù)告

2022版的真題即將上架

2022版壓軸題預(yù)計1月中旬上架。

本文內(nèi)容選自2021年東營中考數(shù)學(xué)壓軸題。本題以中點為背景，考查線段的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)中點進(jìn)行構(gòu)造輔助線解決問題。

【中考真題】

（2021·東營）已知點O是線段AB的中點，點P是直線l上的任意一點，分別過點A和點B作直線l的垂線，垂足分別為點C和點D．我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”．
（1）【猜想驗證】如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是　　．
（2）【探究證明】如圖2，當(dāng)點P是線段AB上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）【拓展延伸】如圖3，①當(dāng)點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
②若∠COD＝60°，請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系．

【分析】

（1）觀察易得OC=OD，通過全等可以證明；

（2）觀察可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論依然成立。可以延長CO與BD相交，利用斜邊中線的性質(zhì)進(jìn)行解決。也可以倍長DO，然后證明結(jié)論。

（3）①結(jié)論依然成立，作法與（2）的方法一樣。

②在①的基礎(chǔ)上，可以發(fā)現(xiàn)AC+BD為CD的√3倍。

【答案】解：（1）猜想：OC＝OD．
理由：如圖1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°
在△AOC與△BOD中，

，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD，
故答案為：OC＝OD；

（2）數(shù)量關(guān)系依然成立．
理由：過點O作直線EF∥CD，交BD于點F，延長AC交EF于點E，

∵EF∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝∠CDF＝90°，
∴四邊形CEFD為矩形，
∴∠OFD＝90°，CE＝DF，
由（1）知，OE＝OF，
在△COE與△DOF中，

，
∴△COE≌DOF（SAS），
∴OC＝OD；

（3）①結(jié)論成立．
理由：如圖3中，延長CO交BD于點E，

∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∴∠ACO＝∠E，
∵點O為AB的中點，
∴AO＝BO，
又∵∠AOC＝∠BOE，
∴△AOC≌△BOE（AAS），
∴CO＝OE，
∵∠CDE＝90°，
∴OD＝OC＝OE，
∴OC＝OD．
②結(jié)論：AC+BDOC．
理由：如圖3中，∵∠COD＝60°，OD＝OC，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD＝OC，∠OCD＝60°，
∵∠CDE＝90°，
∴tan60°，
∴DECD，
∵∴△AOC≌△BOE，
∴AC＝BE，
∴AC+BD＝BD+BE＝DECD，
∴AC+BDOC．