例題：（初中數(shù)學(xué)綜合題）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB=BC，延長AC到點D，使得CD=CB，連接BD交⊙O于點E，過點E作BC的平行線交CD于點F．

（1）求證：AE=DE．

（2）求證：EF為⊙O的切線；

（3）若AB=5，BE=3，求弦AC的長．

知識回顧

垂徑定理:垂直與弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧。

推論一:平分弦(不是直徑)的直徑垂直與這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧。

推論二:弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對的弧。

推論三:平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平分這條弦所對的另一條弧。

分析：（1）由圖可知，要證明AE=DE，只要證明∠EAD=∠D即可．根據(jù)“同弧所對的圓周角相等”可以得到∠DBC=∠CAE，即可得出∠EAD=∠D.

（2）欲證明EF是⊙O的切線，只要證明OE⊥EF即可．由圓周角相等得出弧相等，再根據(jù)垂徑定理得出垂直，即可解決問題.

（3）證明△ABE∽△DBA，利用相似三角形的性質(zhì)求出AE，再進一步求出AD，即可解決問題．

請大家注意，想要正確解答一道數(shù)學(xué)題，必須先將大體思路弄清楚。下面，我們就按照以上思路來解答此題吧！

解答：（以下過程可以部分調(diào)整）

（1）證明：∵CD=CB，

∴∠DBC=∠D，

又∵∠DBC=∠CAE，（同弧所對的圓周角相等）

∴∠D=∠CAE，

∴AE=DE．

（2）證明：連接OE，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB，

∵∠ACB=∠DBC+∠D=2∠DBC=2∠CAE，

∴∠BAC=2∠CAE，

∴∠CAE=∠BAE，

∴點E為弧BEC的中點，

∴OE⊥BC，

∵EF∥BC，

∴OE⊥EF，

∴EF為圓O的切線．

（3）解：在△ABE和△DBA中，

∵∠BAE=∠D，∠ABE=∠DBA，

∴△ABE∽△DBA，

∴AB/EB＝DB/AB＝DA/AE，

∴AB^2=BE×DB，

∵AB=5，BE=3，

∴BD＝25/3，

DE＝BD-BE

＝25/3-3

＝16/3，

∴AE＝DE＝16/3，

∵AB/EB＝DA/AE，

∴DA＝80/9，

∵CD=CB=AB=5，

∴AC＝DA×CD＝35/9．

（完畢）

這道題屬于綜合題，考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確找出相似三角形，運用線段比例解決問題。溫馨提示：朋友們?nèi)绻胁幻靼字幓蛘哂懈玫慕忸}方法，歡迎大家留言討論。