專題5 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

一、考情分析

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn), 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式在近幾年高考中出現(xiàn)的頻率比較高．求解此類問(wèn)題關(guān)鍵是要找出與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù),然后以導(dǎo)數(shù)為工具來(lái)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(值域),從而達(dá)到證明不等式的目的．

二、解題秘籍

(一) 把證明轉(zhuǎn)化為證明

此類問(wèn)題一般是有最小值且比較容易求,或者有最小值,但無(wú)法具體確定,這種情況下一般是先把的最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點(diǎn)的一個(gè)函數(shù),再根據(jù)極值點(diǎn)所在范圍,確定最小值所在范圍

此類問(wèn)題是證明不等式中最基本的一類問(wèn)題,把兩個(gè)函數(shù)通過(guò)作差轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì),通過(guò)函數(shù)性質(zhì)證明該不等式.

 (五) 改變不等式結(jié)構(gòu),重新構(gòu)造函數(shù)證明不等式

此類問(wèn)題要先對(duì)待證不等式進(jìn)行重組整合,適當(dāng)變形,找到其等價(jià)的不等式,觀察其結(jié)構(gòu),根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù).常見(jiàn)的變形方法有：

①去分母,把分?jǐn)?shù)不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；

②兩邊取對(duì)數(shù),把指數(shù)型不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)型不等式；

③兩邊同時(shí)除以,此方法適用于以下兩類問(wèn)題：

(i)不等式為類型,且的符號(hào)確定；

(ii)不等式中含有,有時(shí)為了一次求導(dǎo)后不再含有對(duì)數(shù)符號(hào),可考慮此法.

(六) 通過(guò)減元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式

對(duì)于多變量不等式 ,一般處理策略為消元或是把一個(gè)看作變量其他看作常量；當(dāng)都不能處理的時(shí)候,通過(guò)變形,再換元產(chǎn)生一個(gè)新變量,從而構(gòu)造新變量的函數(shù).

 (七) 與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式的證明

此類問(wèn)題一般先由已知條件及導(dǎo)數(shù)得出一個(gè)不等式,再把該不等式中的自變量依次用1,2,3,,n代換,然后用疊加法證明.

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