一個(gè)多世紀(jì)前，傳奇的印度數(shù)學(xué)家斯里尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）以其無(wú)與倫比的數(shù)學(xué)天賦震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界，他有著人類史上最偉大的數(shù)學(xué)直覺(jué)，能夠看到其他人無(wú)法看到的數(shù)學(xué)模式。在他的夢(mèng)境中，常常出現(xiàn)這些具有抽象之美的數(shù)學(xué)模式。

自上世紀(jì)60年代以來(lái)，數(shù)學(xué)家開(kāi)始用計(jì)算機(jī)生成的數(shù)據(jù)來(lái)尋找數(shù)學(xué)模式和公式，這種被稱為實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的研究方法已經(jīng)為我們帶來(lái)了許多可喜的成果。比如位列千禧年大獎(jiǎng)難題之一的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想，就是其中最著名的一個(gè)例子。

其實(shí)，尋找模式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域正變得越來(lái)越重要?，F(xiàn)在，計(jì)算機(jī)能生產(chǎn)的數(shù)據(jù)比任何數(shù)學(xué)家一生所能研究的都要多；再加上存在一些數(shù)學(xué)家們想要研究，但又由于太過(guò)于高深莫測(cè)而導(dǎo)致推演無(wú)法直接進(jìn)行的數(shù)學(xué)對(duì)象，使得數(shù)學(xué)的發(fā)展受到了制約。

許多研究人員寄希望于人工智能，希望它能以全新的方式增強(qiáng)數(shù)學(xué)家的直覺(jué)判斷。近年來(lái)，人工智能技術(shù)已經(jīng)在涉及人類深層直覺(jué)的領(lǐng)域取得了突破，甚至在科學(xué)領(lǐng)域中的一些最難問(wèn)題上也作出了進(jìn)展。然而，它們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域卻收效甚微，想要從計(jì)算機(jī)生成的數(shù)據(jù)中識(shí)別并發(fā)現(xiàn)模式，仍主要需依賴于數(shù)學(xué)家的洞察力。

現(xiàn)在，開(kāi)發(fā)了包括AlphaGo等一系列人工智能系統(tǒng)的DeepMind團(tuán)隊(duì)與幾位數(shù)學(xué)家一起，將人工智能應(yīng)用在了兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域——拓?fù)鋵W(xué)和表示論上。在一篇新發(fā)表于《自然》雜志上的論文中，研究人員描述了他們?nèi)绾瓮ㄟ^(guò)研究機(jī)器學(xué)習(xí)識(shí)別數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和模式的潛能，為紐結(jié)理論和對(duì)稱性研究帶來(lái)重大突破。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，人工智能可以作為一種有價(jià)值的工具，為已有的猜想找到反例、加速計(jì)算、檢測(cè)存在于數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)等等。現(xiàn)在，新發(fā)表的這項(xiàng)工作通過(guò)探索兩種基本的數(shù)學(xué)概念——拓?fù)鋵W(xué)中的紐結(jié)以及排列，首次證明了人工智能也可以應(yīng)用于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究最前沿的定理和猜想上。

紐結(jié)不僅可以告訴我們一根繩子能有多少種纏繞方式，而且還與量子場(chǎng)論、非歐幾里得幾何等有著驚人的聯(lián)系。代數(shù)、幾何和量子理論都對(duì)紐結(jié)都有其各自獨(dú)特的視角，而一個(gè)長(zhǎng)期存在的迷思是，這些不同分支是如何聯(lián)系的？比如從紐結(jié)的幾何中，我們可以獲得哪些與代數(shù)有關(guān)的信息？

 拓?fù)鋵W(xué)中最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)對(duì)象——紐結(jié)。它是一個(gè)嵌入在三維空間中的扭曲的環(huán)。| 圖片來(lái)源：DeepMind

在新的研究中，研究人員認(rèn)為一個(gè)紐結(jié)的雙曲不變量和代數(shù)不變量之間存在著某種未被發(fā)現(xiàn)的關(guān)系。為了尋找這種關(guān)聯(lián)，他們訓(xùn)練了一個(gè)深度學(xué)習(xí)模型，驚訝地發(fā)現(xiàn)了一種與紐結(jié)的幾何形狀直接相關(guān)的特殊代數(shù)量——符號(hào)差（σ，signature）。在此之前，數(shù)學(xué)家已知這個(gè)量與紐結(jié)的一個(gè)重要信息有關(guān)，但不知道它與雙曲幾何有關(guān)。

通過(guò)使用機(jī)器學(xué)習(xí)的歸因技術(shù)，他們還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的概念——自然坡度（natural slope），它與一個(gè)一直以來(lái)都被忽視了的關(guān)于結(jié)構(gòu)的重要信息有關(guān)?，F(xiàn)在，研究人員通過(guò)研究紐結(jié)的結(jié)構(gòu)，證實(shí)了這種意想不到關(guān)系確實(shí)存在于不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間，首次在這些不同的數(shù)學(xué)分支之間建立起了一些關(guān)聯(lián)。

 排列是對(duì)有序?qū)ο罅斜淼闹匦屡帕校帕小?2415”就將第1個(gè)元素放在了第3個(gè)位置，第2個(gè)元素仍保留在第2個(gè)位置，以此類推。| 圖片來(lái)源：DeepMind

在和排列有關(guān)的研究中，他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)與排列有關(guān)的猜想的新公式。這是表示論中的組合不變性猜想，它說(shuō)的是在某些有向圖形和多項(xiàng)式之間，應(yīng)該存在某種關(guān)系。這個(gè)猜想已經(jīng)困擾數(shù)學(xué)家們數(shù)十年之久。

通過(guò)使用深度學(xué)習(xí)技術(shù)，研究人員確信了這種關(guān)系的存在，并確定了它可能與被稱為破碎二面體區(qū)間和極值反射的結(jié)構(gòu)有關(guān)。有了這些知識(shí)，研究團(tuán)隊(duì)中的數(shù)學(xué)家就能推演出一個(gè)算法來(lái)解決組合不變性猜想?，F(xiàn)在，他們已經(jīng)在300多萬(wàn)個(gè)實(shí)例中對(duì)新的算法進(jìn)行了計(jì)算驗(yàn)證。 

這是機(jī)器學(xué)習(xí)首次作出的重大數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，它們表明機(jī)器學(xué)習(xí)是可以通過(guò)監(jiān)督式學(xué)習(xí)來(lái)檢測(cè)模式的存在，再通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)的歸因技術(shù)來(lái)洞察這些模式，激發(fā)對(duì)問(wèn)題的直覺(jué)判斷，從而對(duì)數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生助益的。

機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)和人工智能系統(tǒng)的使用，為數(shù)學(xué)模式的識(shí)別和發(fā)現(xiàn)帶來(lái)了巨大的希望。即使深度學(xué)習(xí)仍然無(wú)法探測(cè)到某些類型的模式，但這些新的突破也為其他研究人員將人工智能用作為研究數(shù)學(xué)的工具帶來(lái)啟發(fā)。

在回憶拉馬努金時(shí)，數(shù)學(xué)家George Frederick James Temple曾感慨道：“數(shù)學(xué)的偉大進(jìn)步不是靠邏輯，而是來(lái)自創(chuàng)造性的想象力。”我們期待看到，人工智能與數(shù)學(xué)家的合作，能夠進(jìn)一步將人類對(duì)數(shù)學(xué)的直覺(jué)提升到新的高度。