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數(shù)學(xué)的目的是并不是證明幾個(gè)孤立結(jié)論，而是探索未知的邏輯關(guān)系。就這層意義上說，Langlands 綱領(lǐng)或許是近幾十年來最重要的數(shù)學(xué)成果——即便它只是一些未經(jīng)證實(shí)的猜想。  Ana Caraiani，站在帝國(guó)理工學(xué)院附近的Serpentine橋上，從事數(shù)學(xué)研究，為該領(lǐng)域里遙遠(yuǎn)的分支架起橋梁。圖片來源：Philipp Ammon/Quanta Magazine 受訪人 | Ana Caraiani（帝國(guó)理工學(xué)院教授） 翻譯 | 張和持 Ana Caraiani 在普林斯頓大學(xué)的本科畢業(yè)論文由安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles） 指導(dǎo)。懷爾斯是一位著名數(shù)學(xué)家，1994年，就是他證明了 費(fèi)馬大定理。這位名聲在外的學(xué)者交給學(xué)生的問題自然困難重重，而 Caraiani 并沒有她導(dǎo)師當(dāng)年的運(yùn)氣。不過，雖然并沒有取得顯著的進(jìn)展，她也不曾氣餒。 Caraiani說，"這個(gè)題目的重點(diǎn)不一定是解決這個(gè)問題。我認(rèn)為懷爾斯在教我，不應(yīng)該把所有的時(shí)間都花在你知道如何做的事情上。那些真正困難的問題值得花時(shí)間去解決，只是可能真的太難了?！?/span> 在做畢業(yè)論文的過程中，她學(xué)到了很多數(shù)學(xué)研究的方法?！澳悴豢赡芸偸前床烤桶嗟刈鰯?shù)學(xué)。如果你卡在了問題的某個(gè)部分，就先別管它，去做其他部分?！?Caraiani后來進(jìn)行了非常廣泛的合作研究，目的是將數(shù)學(xué)的各個(gè)不同領(lǐng)域聯(lián)系在一起，而做畢業(yè)論文的經(jīng)驗(yàn)讓她受益匪淺。她所從事的研究被稱為 Langlands 綱領(lǐng)，由加拿大數(shù)學(xué)家Robert Langlands于上世紀(jì) 60 年代建立。這是當(dāng)今數(shù)學(xué)界最為龐大，最富野心，同時(shí)也是最具挑戰(zhàn)性的任務(wù)。 Caraiani 現(xiàn)在擔(dān)任倫敦帝國(guó)理工學(xué)院教授，同時(shí)獲得了皇家學(xué)會(huì)大學(xué)研究獎(jiǎng)學(xué)金（URF）。她從來都不回避任何挑戰(zhàn)。在羅馬尼亞首都布加勒斯特長(zhǎng)大的她，經(jīng)常會(huì)遭遇與她自身能力無(wú)關(guān)的挫折。2001年，作為一名高中生，她成為數(shù)十年來第一個(gè)有資格參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）的羅馬尼亞女性，并在當(dāng)年摘得一枚銀牌，此后兩年又連續(xù)摘得金牌。不過盡管獲得了如此成功，她仍然感覺自己是不受歡迎的，也很少得到鼓勵(lì)。 “有些人，包括舉辦大賽數(shù)學(xué)老師們，都讓我不要抱太大期望，”她說?！岸蚁胍C明他們都錯(cuò)了。” Caraiani 對(duì)Quanta雜志講述了她追求數(shù)學(xué)的經(jīng)歷以及研究 Langlands 綱領(lǐng)的工作，而后者可以理解為“通向數(shù)學(xué)大一統(tǒng)理論之路”。為了讓文章更加清晰，我們對(duì)采訪內(nèi)容進(jìn)行了壓縮與編輯。 你闖進(jìn)男性主導(dǎo)的 IMO 之后，情況有沒有發(fā)生轉(zhuǎn)變？ 當(dāng)時(shí)我在高中從來不被人看好，而如今學(xué)校的女生會(huì)得到很多鼓勵(lì)。不過即便如此，我還是看到自己身邊的人遭受隱晦的歧視。如果別人都視你為異類，那么要開展研究或是建立長(zhǎng)期合作關(guān)系就會(huì)困難重重。而且你很難被認(rèn)真對(duì)待，每次都必須得證明自己的能力。 我意識(shí)到，其實(shí)相比大多數(shù)同行，我一直很幸運(yùn)，現(xiàn)在也已是小有名氣。不過我還是覺得，數(shù)學(xué)界并不像它應(yīng)有的那么包容——不僅僅是對(duì)于女性，對(duì)其他弱勢(shì)群體也是一樣的。在我研究的領(lǐng)域中更是這樣，Langlands 綱領(lǐng)的研究需要大量專業(yè)知識(shí)，就連入門也存在巨大的障礙。 我只能盡自己所能幫助他人，一起探索這一驚人的領(lǐng)域，不過我覺得還是不夠。我努力為女性，以及其他弱勢(shì)群體提供生存空間，爭(zhēng)取會(huì)議席位，讓她們參加我的研究小組。我很高興自己的研究小組中女性占比高于平均水平。 是什么吸引你來到這個(gè)驚人領(lǐng)域的？ 我2007年從普林斯頓大學(xué)畢業(yè)，那時(shí)懷爾斯鼓勵(lì)我去哈佛大學(xué)深造，那樣我可以跟 Richard Taylor學(xué)習(xí)——他對(duì)費(fèi)馬大定理的證明做出了關(guān)鍵貢獻(xiàn)。而我之所以做 Langlands 綱領(lǐng)正是隨的他。 不過對(duì)于我來說，還有更深層次的吸引力。Langlands 綱領(lǐng)是要旨，從本質(zhì)上說是給數(shù)學(xué)的不同分支建立聯(lián)系。而我喜歡數(shù)學(xué)的所有分支——數(shù)論、分析、幾何、拓?fù)涞取绻易?Langlands 綱領(lǐng)的話，就不必將自己的研究限制在任何分支中。如果我們遇到還不會(huì)證的猜想，就可以嘗試聯(lián)系其他數(shù)學(xué)分支，用其他相關(guān)工具，就有可能取得進(jìn)展。 在你的事業(yè)中，所謂“進(jìn)展”是什么意思呢？ 我和同事們所做的工作，就是在不同數(shù)學(xué)分支間搭起橋梁——具體來說，橋的一邊是Galois 群與Galois表示，另一邊是模形式與其推廣。 我們從Galois群說起。比方說 x2-3=0這個(gè)多項(xiàng)式方程，它的解，或者說根，是 而如果考慮次數(shù)為5的多項(xiàng)式（次數(shù)指最高次項(xiàng)次數(shù)，比如x5或y5），這時(shí)方程就變得非常復(fù)雜，其 Galois 群也變得復(fù)雜。Galois表示可以用來簡(jiǎn)化問題，這時(shí)我們就不必研究整個(gè)Galois群，只需要觀察它的某些部分，或者說截面。就像是取3維物體的2維截面一樣；雖然截面并不包含所有原始信息，但很多時(shí)候也夠用了。 那橋的另一邊呢？ 模形式是一種高度對(duì)稱，定義在上半復(fù)平面上的函數(shù)，其中我們用x軸代表實(shí)數(shù)，y軸代表虛數(shù)（也就是 我們可以把上半復(fù)平面分成小區(qū)域，或者說“瓦片”。而由于對(duì)稱性，我們只需要知道其中一個(gè)瓦片上的函數(shù)值，就可以知道所有值。接著，我們可以取無(wú)窮多個(gè)瓦片，并把相鄰的粘在一起，這樣就產(chǎn)生了一個(gè)曲面，我們稱為模曲線。 即便這些都是完全不同的概念，也能通過 Langlands 綱領(lǐng)來說明他們的等價(jià)性？ 沒錯(cuò)，連接模形式（屬于分析）與Galois 表示（屬于數(shù)論與算數(shù)幾何）的橋梁，最初建立于上世紀(jì) 70 年代，從那時(shí)開始，研究人員就一直在加固這座橋。 在Langlands對(duì)應(yīng)中，我覺得最神奇的莫過于：你可以用完全不同的方法，分別在模形式和Galois兩邊得到同樣一串?dāng)?shù)字。你要做的，基本上就是把模形式——也就是那些高度對(duì)稱的函數(shù)——分解為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。這樣你就能得到三角函數(shù)的系數(shù)。而對(duì)于Galois這邊，你只需要數(shù)一下多項(xiàng)式方程的根的個(gè)數(shù)。 能在實(shí)際計(jì)算中觀察到這種現(xiàn)象，即便對(duì)我來說，也非常震驚。因?yàn)橐嬲⑦@樣的聯(lián)系，得用到比這多得多的數(shù)學(xué)對(duì)象。 來回的兩個(gè)方向需要不同的橋嗎？ 的確是這樣。第一座橋是單向通道。如果你想從 Galois表示這邊開始，往模形式那邊走，就可以使用Taylor-Wiles方法，這個(gè)方法最早是用來證明費(fèi)馬大定理的。現(xiàn)在我們已經(jīng)能雙向行走了。 為什么要這樣大費(fèi)周章？通過這些橋梁還能讓你們做些什么？ 建立這些關(guān)系，展示不同數(shù)學(xué)之間的共同點(diǎn)，能帶來智力方面的滿足。當(dāng)然，它也是有實(shí)用價(jià)值的。對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題來說，在橋的一邊會(huì)比另外一邊更容易解決。面對(duì)一個(gè)很難的數(shù)學(xué)問題，我們經(jīng)常需要在其中一邊做一些研究，然后再到另一邊做更多工作。為了證明某些命題，你可能需要來回過橋，這樣你就必須得能在兩個(gè)方向上自由穿行。 在這個(gè)領(lǐng)域中，一個(gè)重要的目標(biāo)是要在更一般的條件下造橋。這樣我們就能讓Langlands 綱領(lǐng)的研究范圍不斷擴(kuò)張。 在造橋過程中，你做出了什么貢獻(xiàn)呢？ 數(shù)學(xué)家們已經(jīng)意識(shí)到Taylor-Wiles方法對(duì)局限性：它針對(duì)2維情況效果良好，但在3維就失效了。2012年，F(xiàn)rank Calegari和David Geraghty想到了一個(gè)改進(jìn)方法，以適用 3 維情況。然而他們表示，要讓這個(gè)方法起作用，首先得解決他們提出的三個(gè)猜想。 我的同事Peter Scholze在2013年解決了第一個(gè)猜想；這個(gè)猜想建立了第一座橋——從模形式到Galois，這座橋遠(yuǎn)比原來的2維情況要寬的多，這樣才能與3維情況下出現(xiàn)的新現(xiàn)象相容。 在2015年年底，Sholze 和我意識(shí)到，我們最近的工作可以用來解決第二個(gè)猜想，要是這個(gè)猜想得到證實(shí)，就能精確控制這座橋著陸的位置。雖然這個(gè)方法失敗了，但是我們又想出了很有希望的新方法。這時(shí)，Taylor建議我們?cè)谄樟炙诡D高等研究院（IAS）組織一場(chǎng)研討會(huì)來完善我們的工作，想辦法解決第二個(gè)猜想。 為什么要跟讓別人來參與這項(xiàng)工作，而不是自己解決第二個(gè)猜想？ 整個(gè)證明過程從幾何跨越到數(shù)論。Sholze 和我做的是幾何部分，但我們認(rèn)為自己并不是數(shù)論方面最好的人選。我們覺得尋求合作能讓項(xiàng)目進(jìn)展得更快。 結(jié)果如何呢？ 我們已經(jīng)解決了第二個(gè)猜想這個(gè)目標(biāo)，并且找到了一個(gè)方法來繞過第三個(gè)猜想。我們建起了反方向的橋——由Galois到模形式的3維情況。這讓我們成功越過了Taylor-Wiles方法失效的障礙。而且這座橋不單單是對(duì)3維，對(duì)任意維也是有效的。論文已經(jīng)在 2018 年圣誕節(jié)那天掛到網(wǎng)上，現(xiàn)在正在接受期刊的審校。 現(xiàn)在你又在做什么研究呢？ 我們對(duì)Calegari和Geraghty的第二個(gè)猜想，只在兩種特殊情況下做出了證明。現(xiàn)在我正在與之前 10 位合著者之一的James Newton合作，想辦法在最一般的條件下證明這個(gè)猜想。 我還是對(duì)第三個(gè)猜想很感興趣，即便我們之前繞過了它。它預(yù)測(cè)了志村簇（Shimura varieties）的某些性質(zhì)，而我對(duì)此興趣濃厚，希望今后能對(duì)它有更深的了解。 另外，還存在某些情況，我們對(duì)于如何造橋一無(wú)所知。在我們的領(lǐng)域中一個(gè)重大的目標(biāo)就是在盡可能一般的條件下造橋，比如使用任意數(shù)系上的多項(xiàng)式。這樣我們就能擴(kuò)展 Langlands 綱領(lǐng)的研究范圍。 這種統(tǒng)一最終能走多遠(yuǎn)？ 我并不認(rèn)為L(zhǎng)anglands理論有一天能解釋所有數(shù)學(xué)，不過我還是認(rèn)為，它起碼能觸及數(shù)學(xué)的所有方面。 Robert Langlands的確高瞻遠(yuǎn)矚。他在幾十年前建立了一整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的猜想，而這個(gè)領(lǐng)域的范圍也逐步擴(kuò)大。我們跨過的橋越多，能提出的新猜想，能前往的新目的地也更多。似乎這些取得的進(jìn)展，都是為了讓我們看到前方更為廣闊的天地。我并不認(rèn)為任何人會(huì)期待這個(gè)綱領(lǐng)走向終結(jié)。 |
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