在數(shù)學(xué)中，有很多重要的“未解之謎”，最知名的是7個(gè)千禧難題，它們是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)、楊-米爾斯存在性和質(zhì)量缺口、納維-斯托克斯方程、BSD猜想，其中龐加萊猜想已被解決。然而，還有其他一些問題也是“價(jià)值不菲的”，比如比爾猜想，該問題是本文的重點(diǎn)。比爾是一位著名的銀行家，同時(shí)也是一位數(shù)學(xué)愛好者，他聲稱要為正確解決這個(gè)問題的人提供一百萬美元的獎(jiǎng)金。如果兩個(gè)整數(shù)n和m的最大公約數(shù)是1，則它們就是互質(zhì)的。很明顯，所有一對(duì)（不相等的）質(zhì)數(shù)都是互質(zhì)整數(shù)，但例如（9，4）也是互質(zhì)整數(shù)，因?yàn)闆]有質(zhì)數(shù)能同時(shí)整除它們。猜想其中A，B，C，x，y和z是自然數(shù)（正整數(shù)）。如果x、y和z都大于2，那么A、B和C肯定有一個(gè)共同的質(zhì)因數(shù)。請(qǐng)注意，在這個(gè)方程中，所有三個(gè)項(xiàng)都有質(zhì)數(shù)3作為因子，因?yàn)?能分別除3、6和3。理解任何形式的 "如果P那么Q "命題的一個(gè)好方法是考慮與之等價(jià)的反命題。反命題的真值和原始命題的真值是一樣的，所以反命題的證明會(huì)立即證明原始命題（反之亦然）。- 假設(shè)方程（1）成立，A，B，C，x，y和z是自然數(shù)（正整數(shù)）。
- 如果A、B和C是互質(zhì)的（即它們不共享一個(gè)素因子），那么x、y或z必須是1或2。
我們可以用比爾猜想的反命題來構(gòu)造一個(gè)方程，迫使該方程在A、B和C互質(zhì)，以及x、y z大于2的情況下為真。然后，該猜想指出，這個(gè)方程沒有自然數(shù)的解。設(shè)a和b是有最大公約數(shù)d的整數(shù)。那么存在整數(shù)x和y，使得ax + by = d。 設(shè)a和b是互質(zhì)的自然數(shù)。那么存在整數(shù)n和m，使得na+mb=1。 請(qǐng)注意，反之亦然，因?yàn)槿绻嬖谡麛?shù)n和m，使得na+mb=1，并且a和b不是互質(zhì)的，那么它們有一個(gè)共同的質(zhì)因數(shù)p，根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，這個(gè)質(zhì)因數(shù)大于1。這意味著p能除1，這顯然是一個(gè)矛盾。因此，a和b是互質(zhì)的。當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù)n和m，使得na+mb=1時(shí)，a和b是互質(zhì)的。 請(qǐng)注意，如果我們知道比爾方程（1）成立，那么 "A、B和C不共享一個(gè)共同的質(zhì)因數(shù) "的說法就等同于A和B是互質(zhì)的說法。這是因?yàn)槿绻鸄和B有一個(gè)共同的質(zhì)因數(shù)p，那么我們可以從(1)的左手邊提出這個(gè)質(zhì)因數(shù)。這表明，C^z也有p作為質(zhì)因數(shù)。所以如果A和B有一個(gè)共同的因子，那么它們都有這個(gè)因子。如果A、B和C沒有公因數(shù)，且方程(1)成立，則A和B互質(zhì)。現(xiàn)在我們可以把兩個(gè)方程結(jié)合起來，確保它們都通過平方而成立：如果這個(gè)方程有自然數(shù)x, y, z, A, B, C和整數(shù)n, m的解，那么x, y或z中至少有一個(gè)是1或2。如果你能證明這一點(diǎn)，那么你將得到一百萬美元。與費(fèi)馬最后定理的聯(lián)系?要得到一百萬美元并不容易。首先，證明需要發(fā)表在AMS認(rèn)可的同行評(píng)議的雜志上。事實(shí)證明，比爾猜想是費(fèi)馬大定理（FLT）的一個(gè)概括。費(fèi)馬大定理指出，對(duì)于n≥3的方程，沒有自然數(shù)解：費(fèi)馬大定理花了數(shù)學(xué)家350年的時(shí)間來證明，而證明過程漫長(zhǎng)、復(fù)雜，依賴于現(xiàn)代專業(yè)數(shù)學(xué)。事實(shí)上，這個(gè)證明是如此復(fù)雜，以至于這個(gè)星球上只有少數(shù)人能理解它。 因此，除非你找到一個(gè)完全不同的方法來證明，而這個(gè)方法350年來一直被世界上最好的數(shù)學(xué)家所忽視，否則至少可以說，比爾猜想的證明似乎遙不可及。為了證明BC（比爾猜想）是FLT（費(fèi)馬大定理）的推廣，我們需要證明BC => FLT。也就是說，如果比爾猜想是真的，那么費(fèi)馬大定理就是真的。當(dāng)然，我們知道費(fèi)馬大定理是正確的，因?yàn)樯厦嫣岬降陌驳卖敗褷査梗ˋndrew Wiles）通過模量定理（Modularity Theorem）的證明。模量定理可以非正式地看作是橢圓曲線世界和模形式世界之間的一座橋梁。然而，我們要證明的是，即使我們不知道安德魯?shù)淖C明，比爾猜想仍會(huì)暗示費(fèi)馬大定理成立。為了看到這一點(diǎn)，我們假設(shè)比爾猜想是真的，而且對(duì)于自然數(shù)a、b、c和一些自然數(shù)指數(shù)n（n≥3），像上面這樣的費(fèi)馬方程是成立的。然后通過比爾猜想，我們知道a、b和c有一個(gè)公因數(shù)p，現(xiàn)在我們可以通過p^n來獲得費(fèi)馬大定理的另一個(gè)解。通過繼續(xù)除以共質(zhì)數(shù)的n次方，我們最終會(huì)得到一個(gè)a和b互質(zhì)的解。這與比爾猜想的假設(shè)相矛盾，因此對(duì)于n≥3的情況不可能有這樣的解，即費(fèi)馬大定理成立。比爾猜想是一個(gè)迷人的數(shù)字之謎。就像費(fèi)馬大定理一樣，它吸引我們的原因是其簡(jiǎn)單的定義，但正如我們現(xiàn)在所知，外表是具有欺騙性的。
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