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16世紀，數(shù)學家們在偶然中發(fā)現(xiàn)了復(fù)數(shù)。到了18世紀，復(fù)數(shù)系作為實數(shù)的擴張而被建立起來。但在處理復(fù)數(shù)時產(chǎn)生了一些錯誤。即便是高斯的杰作《算術(shù)研究》(1801年），也回避了所謂“虛數(shù)”的使用。關(guān)于復(fù)數(shù)的研究成為了新的數(shù)學分支?！端阈g(shù)研究》的最重要的成果，是證明了代數(shù)基本定理。高斯充分意識到這一定理的重要性，因此，他花費了許多年的時間來研究這一定理。直到1849年，他首次把這定理推廣到了復(fù)數(shù)域。用現(xiàn)代的術(shù)語來描述的話，代數(shù)基本定理是：對任意實系數(shù)或復(fù)系數(shù)有限多項式方程，它的根或是實數(shù)或是復(fù)數(shù)。這一定理對長期爭論的下述問題給出了否定的答案：高次方程的根是否具有比復(fù)數(shù)更復(fù)雜的“高層次”的結(jié)構(gòu)？高斯認識到這一定理的重要性，在此之后又給出了更詳細的證明。當時，代數(shù)中最棘手的問題是五次方程能否用代數(shù)方法，即通過有限代數(shù)步驟求解的問題。在學校里我們學習過二次方程的解法。在16世紀，人們又知道了三次方程和四次方程的解法，但是數(shù)學家們沒有找到五次方程的解法。對于五次方程解的存在性問題，代數(shù)基本定理似乎給出了解法存在的希望。然而，這一定理僅僅是保證了解的存在性，而沒有說存在計算嚴格解的公式（近似數(shù)值方法和圖形方法巳經(jīng)存在）。這一問題給我們帶來了兩位悲慘的天才數(shù)學家。尼爾斯·亨里克·阿貝爾(NielsHenrikAhel,1802年-1829年）出生千挪威某個小村莊中一個貧窮的龐大家族。一位具有同情心的教師鼓勵阿貝爾自學成才。但在他18歲時，由于父親的去世，家族的生活重擔就落在了這一位年輕虛弱的孩子的肩上。1824年，阿貝爾完成了關(guān)于五次方程及更高次方程無代數(shù)解的研究論文。阿貝爾相信這是他進入學術(shù)界的憑證。他將這一論文寄給了當時在哥廷根大學的高斯。不幸的是，高斯似乎沒有打開過這封信。1826年，阿貝爾在《純粹與應(yīng)用數(shù)學雜志》（現(xiàn)名《克列爾雜志》）發(fā)表了五次方程不可解的證明之后去了巴黎。在巴黎，他找到了柯西，柯西是數(shù)學分析領(lǐng)域的重要人物，但是與人很難相處。阿貝爾又回到了挪威，由于患了肺結(jié)核而更加虛弱，但他繼續(xù)向《克列爾雜志》寄文章。他死于1829年。他本人至死也不知道他的聲望巳經(jīng)高不可及。 
阿貝爾證明了五次以上的多項式方程不能利用根式求得一般解。然而，可解的必要條件及其求解方法要等到伽羅瓦來給出。伽羅瓦(EvaristPGalois,1811年-1832年）的一生是短暫的而且充滿了災(zāi)難。作為一位杰出的天才數(shù)學家，他性情易變和世人對他的不公正，使他成為一位悲劇人物。1832年5月29日,他接受了一場決斗，伽羅瓦最著名的著作是在決斗的前一夜完成的。在手稿的頁邊的空白處，他寫道“我沒有時間了，我沒有時間了”。他必須把與理解主要結(jié)果無關(guān)緊要的一些中間過程留給其他人來完成。那一天的清晨，伽羅瓦與他的敵手相會，兩人相隔二十五步遠，伽羅瓦在決斗中受了槍傷，第二天早晨死于醫(yī)院，年僅21歲。伽羅瓦的研究基于拉格朗日和柯西的以往研究，但他對關(guān)于五次方程的問題做出了突破性的工作，找到了更一般的方法。他并沒有抓住原來的五次方程及它的圖形解釋不放，而是著眼于五次根自身的特性。為了簡化起見，伽羅瓦研究了沒有實根的所謂的不可約方程（因為如果五次方程有實根，則五次方程就可以分解成四次方程，因此存在代數(shù)解法）。對于任意給定次數(shù)的實系數(shù)且無實數(shù)解的多項式不可約代數(shù)方程，伽羅瓦的方法是建立能夠利用開方根來對方程求解的條件。
這一方法的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)任意不可約代數(shù)方程的根不是獨立的，而是能用另一個根來表示的。這些關(guān)系可以對根的所有可能的置換構(gòu)成的群，這就是對根的對稱群加以形式化而得到。對于五次方程，這樣的群含有120個元素。伽羅瓦理論的數(shù)學工具非常復(fù)雜，這也可能是他的理論沒能很快被接受的原因之一。但是，從代數(shù)方程的解到它們的相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)的這一抽象性的提高，使伽羅瓦能夠從相關(guān)的群的性質(zhì)來判斷方程是否可解。不僅如此，伽羅瓦理論還為我們提供了尋找方程解的方法。關(guān)于五次方程，劉維爾(JosephLiouville,1809年-1882年）于1846年在他的《純粹與應(yīng)用數(shù)學雜志》上發(fā)表了伽羅瓦的許多研究成果并注釋道：＂伽羅瓦已經(jīng)證明了的這一定理，一個素數(shù)次的不可約方程用根式可解，當且僅當它的任意根是任何其中兩根的有理函數(shù)。”由于不可約五次方程不存在這樣的關(guān)系，因此五次方程不能用根式求解。在這三年期間，數(shù)學界失去了兩顆最璀璨的新星。阿貝爾和伽羅瓦都是在死后才得到了他們應(yīng)有的重視。
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