高中數(shù)學題型技巧5　利用導數(shù)證明不等式

題型一 將不等式轉化為函數(shù)的最值問題

思維升華　待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數(shù)，有時對復雜的式子要進行變形，利用導數(shù)研究其單調性和最值，借助所構造函數(shù)的單調性和最值即可得證．

跟蹤訓練1　(2020·武漢調研)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a/x，a∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；

題型二 將不等式轉化為兩個函數(shù)的最值進行比較

例2　已知函數(shù)f(x)＝eln x－ax(a∈R)．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當a＝e時，證明：xf(x)－e^x＋2ex≤0.

思維升華　(1)若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標．本例中同時含ln x與e^x，不能直接構造函數(shù)，把指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進行證明．

(2)在證明過程中，等價轉化是關鍵，此處g(x)_min＝f(x)_max恒成立．從而f(x)≤g(x)恒成立．

跟蹤訓練2　已知函數(shù)f(x)＝ax²－xln x.

(1)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若a＝e，證明：當x>0時，f(x)<xe^x＋1/e.

(1)解　由題意知，f′(x)＝2ax－ln x－1.

故原不等式成立．

題型三 適當放縮證明不等式

例3　(2020·新高考全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ae^x－1－ln x＋ln a.

(1)當a＝e時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

綜上，a的取值范圍是[1，＋∞)．

[高考改編題] 已知函數(shù)f(x)＝ae^x－1－ln x－1.

(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；

(2)證明：當a≥1時，f(x)≥0.

(1)解　當a＝1時，f(x)＝e^x－1－ln x－1(x>0)，

即證f(x)≥0.

方法二　令g(x)＝e^x－x－1，

即證f(x)≥0.

方法三　f(x)＝ae^x－1－ln x－1，定義域為(0，＋∞)，

即f(x)_min＝f(x₀)≥0，故f(x)≥0.

思維升華　導數(shù)方法證明不等式中，最常見的是e^x和ln x與其他代數(shù)式結合的問題，對于這類問題，可以考慮先對e^x和ln x進行放縮，使問題簡化，簡化后再構建函數(shù)進行證明.常見的放縮公式如下：(1)e^x≥1＋x，當且僅當x＝0時取等號.(2)ln x≤x－1，當且僅當x＝1時取等號．