矢量分析(01)

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【神奇的電磁世界：電動(dòng)力學(xué)(矢量分析01) - 今日頭條】https://m.toutiao.com/is/RQJPQey/ 

假如你熱愛物理，那你一定不會(huì)對(duì)麥克斯韋感到陌生，他寫出的方程組揭示出電磁相互作用的完美統(tǒng)一，以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經(jīng)典物理學(xué)最引以自豪的成就之一。

那么接下來我們就將通過對(duì)于電動(dòng)力學(xué)的探索來進(jìn)入電和磁這個(gè)奇妙的世界。

笨笨要在這里先提醒一下各位閱讀的小伙伴，作為電動(dòng)力學(xué)專題的開篇內(nèi)容，矢量分析顯然是很重要但又很枯燥的，但是它將是我們揭示電磁世界的奧秘時(shí)所能用到的最棒的工具之一。

在本節(jié)內(nèi)容中將不再對(duì)矢量的基本概念進(jìn)行贅述。

矢量的基本運(yùn)算

The basic operation of a vector

首先我們先簡單的看一下矢量的運(yùn)算規(guī)則。我們先給出一個(gè)三位正交坐標(biāo)系中的三個(gè)矢量A、B、C：

我們可以簡單的得到矢量點(diǎn)乘與叉乘的運(yùn)算公式：

A·B=B·A=ABcosθ

AxB=-BxA；|AxB|=ABsinθ

此外，還有兩個(gè)常用恒等式：

(1)A·(BxC)=B·(CxA)=C·(AxB)

(2)Ax(BxC)=B(A·C)-C(A·B)

對(duì)于(1)式，我們可以看到(BxC)所得到的向量，其的數(shù)值大小即代表以B、C為邊的平行四邊形的面積，其方向垂直與BC面，當(dāng)這個(gè)向量與A點(diǎn)乘，Acosθ顯然為該立方體BC面上的高，最后所得到的標(biāo)量大小即為該立方體體積。對(duì)于B·(CxA)與C·(AxB)，我們也可用相同的思路證明其結(jié)果為該立方體體積，顯然(1)式成立。

對(duì)于(2)式，我們進(jìn)行簡單的分析幫助記憶，(BxC)為垂直于BC面的向量，由于A也垂直于BC面，顯然該向量與A所構(gòu)成的平面與BC面垂直，當(dāng)A與其叉乘，那么所得向量必然處于BC面，我們就可以用B、C兩個(gè)向量將其表示出來。對(duì)于該式的證明過程如下：

梯度、散度、旋度

Gradient, Divergence, Rotation

在介紹梯度、散度、旋度之前，我們先引入一個(gè)小標(biāo)志——?，?讀作“del”或“nabla”，它是對(duì)場量作空間一階偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的算符。

?·?=?2，?2是二階齊次偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的標(biāo)量算符，即拉普拉斯算符。

在直角坐標(biāo)系中：

梯度：

那我們接下來來看看什么是梯度？梯度的本意是個(gè)矢量，既然是矢量那就是有方向的。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的梯度所具有的方向便是該函數(shù)在該點(diǎn)變化率最大的方向，而變化率的大小恰好也是梯度的模（梯度的數(shù)值大小）。

我們假設(shè)有一標(biāo)量場 φ(x)，則梯度記作：

gradφ=(?φ/?l) ·l

假如在三維空間中我們就有：

很顯然，我們就有g(shù)radφ=?φ

散度：

那么什么又是散度呢？散度簡單講就是指空間各點(diǎn)中矢量場發(fā)散的程度。由此我們可以得出，散度只有大小沒有方向，若散度的取值為正則發(fā)散；若取值為負(fù)則匯聚。

舉個(gè)例子，我們?cè)诳臻g中放入一個(gè)正點(diǎn)電荷，很顯然，它所產(chǎn)生的電場是以它為源點(diǎn)向四周發(fā)散的，那么電場某一點(diǎn)的散度就表示該點(diǎn)發(fā)散的程度。假如我們畫出電場線來表示電場，就不難發(fā)現(xiàn)，電場線越密集的地方就是散度越大的地方。在物理上，散度表示了場的有源性。

下面我們給出散度的定義：

當(dāng)?shù)仁接疫叺摩不取極限時(shí)，分式表示的是矢量場f(x)在ΔV中單位體積的平均通量或平均發(fā)散量；當(dāng)ΔV取極限時(shí)，便向一點(diǎn)收縮，若極限值存在，則稱其為該點(diǎn)的散度，利用高斯定理，我們便能得到：

注意，當(dāng)我們用nabla算符表示時(shí)，梯度和散度是不同的。梯度是?f(x)，是矢量；散度是?·f(x)，為標(biāo)量。

旋度：

最后，我們來看看旋度是什么。設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點(diǎn)附近，那么以閉合曲線L為界的面積也將逐漸減小。一般說來，這兩者的比值有一極限值，即記作單位面積平均環(huán)流的極限：

它與閉合曲線的形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向且通常L的正方向與規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則，顯然，旋度是一個(gè)矢量，是存在方向的。為此定義：

旋度的重要性在于，可用通過研究表征矢量在某點(diǎn)附近各方向上環(huán)流強(qiáng)弱的程度，進(jìn)而得到其單位面積平均環(huán)流的極限的大小程度。當(dāng)rot f(x)=0時(shí)，矢量場為無旋場。

舉個(gè)例子，一根通電直導(dǎo)線所產(chǎn)生的磁場便是有旋場，我們可以來計(jì)算該磁場的旋度。而點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場便是一個(gè)無旋場。

至此，梯度、散度、旋度都已經(jīng)簡單地介紹完成。也許有些小伙伴還有點(diǎn)迷糊，不過只要記住梯度的方向是變化最快的方向，梯度的大小是最大的變化率；散度我們靠點(diǎn)電荷來理解；旋度我們則靠通電直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場來理解。這樣我們便會(huì)對(duì)電場與磁場有一個(gè)初步的熟悉，也會(huì)為我們之后進(jìn)一步地深入探究鋪平道路。

Next issue

下一期的電動(dòng)力學(xué)專題我們還是得繼續(xù)矢量分析的學(xué)習(xí)，我們將會(huì)掌握有關(guān)nabla算符的一些運(yùn)算律以及常用公式，當(dāng)然，這還是很枯燥的內(nèi)容，但它會(huì)對(duì)我們之后的學(xué)習(xí)非常有用。

各位對(duì)電磁世界好奇的小伙伴，我們下期專題見啦，喜歡的話記得點(diǎn)一下關(guān)注呀！

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校 對(duì)|笨笨

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