一個(gè)圖形將另一個(gè)圖形完全覆蓋住，在平時(shí)的幾何研究中的確不多，現(xiàn)實(shí)生活中倒是很常見，例如在一張矩形紙片上剪出某個(gè)最大面積的形狀，那張矩形紙片便可稱為某個(gè)形狀的覆蓋。

將上述矩形紙片搬到平面直角坐標(biāo)系中，并且限定在第一象限，被覆蓋的幾何圖形限定為最為簡單的點(diǎn)、線、三角形、多邊形、圓，就生成一道頗有趣味的新定義壓軸題。

題目

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)和圖形W，給出如下定義：過點(diǎn)P作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M，N，若圖形W中的任意一點(diǎn)Q(a,b)滿足a≤x且b≤y，則稱四邊形PMON是圖形W的一個(gè)覆蓋，點(diǎn)P為這個(gè)覆蓋的一個(gè)特征點(diǎn)，例：已知A(1,2)，B(3,1)，則點(diǎn)P(5,4)為線段AB的一個(gè)覆蓋的特征點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)C(2,3)

①在P1(1,3)，P2(3,3)，P3(4,4)中，是△ABC的覆蓋特征點(diǎn)的為________________；

②若在一次函數(shù)y=mx+5(m≠0)的圖象上存在△ABC的覆蓋的特征點(diǎn)，求m的取值范圍；

(2)以點(diǎn)D(2,4)為圓心，半徑為1作圖，在拋物線y=ax2-5ax+4(a≠0)上存在圓D的覆蓋的特征點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍__________________.

解析：

(1)解讀新定義時(shí)，給出的例子一定要認(rèn)真研讀，如下圖：

圖中綠色部分為矩形，圖形W指線段AB，可見線段AB被矩形所覆蓋，當(dāng)然這只是初步理解，更進(jìn)一步，這個(gè)綠色的矩形還能有不同的大小嗎？最小是多少？仍以上圖為例，我們可知點(diǎn)(3,2)向坐標(biāo)軸作垂線后，圍成的矩形也是線段AB的覆蓋，并且還是最小的覆蓋；

線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)中，橫坐標(biāo)最大為3，縱坐標(biāo)最大為2，恰好就是特征點(diǎn)(2,3)的橫、縱坐標(biāo)，同時(shí)所有橫坐標(biāo)≥3且縱坐標(biāo)≥2的點(diǎn)，都可能是線段AB的覆蓋的特征點(diǎn)，這不是巧合，是規(guī)律；

①將三個(gè)點(diǎn)作出并觀察比較，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)中，橫坐標(biāo)最大為3，縱坐標(biāo)最大為3，因此只要橫、縱坐標(biāo)均≥3的點(diǎn)，一定滿足條件，因此△ABC的覆蓋的特征點(diǎn)是P2和P3；

②根據(jù)前面推導(dǎo)，確定△ABC的覆蓋坐標(biāo)值最小的特征點(diǎn)是(3,3)，那么在整個(gè)第一象限內(nèi)，所有滿足條件的特征點(diǎn)都在下圖的陰影部分中：

再來看直線y=mx+5，這是一條經(jīng)過定點(diǎn)(0,5)的直線，當(dāng)m>0時(shí)，它始終會(huì)經(jīng)過陰影部分，當(dāng)m<0時(shí)，找到特殊情況，即經(jīng)過點(diǎn)G(3,3)時(shí)，代入求得m=-2/3，所以當(dāng)m≥-2/3且m≠0時(shí)，存在△ABC的覆蓋的特征點(diǎn)；

(2)對(duì)于圓D來講，它的覆蓋的特征點(diǎn)中，坐標(biāo)值最小的是(3,5)，因此圓D的覆蓋的特征點(diǎn)，橫坐標(biāo)≥3，縱坐標(biāo)≥5，如下圖：

可見當(dāng)a>0時(shí)，拋物線始終經(jīng)過陰影部分，即存在圓D的覆蓋的特征點(diǎn)；

那么當(dāng)a<0時(shí)，拋物線有可能不經(jīng)過陰影部分，特別地，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)H(3,5)時(shí)，代入解析式求得a=-1/6，如下圖：

所以，當(dāng)a≤-1/6或a>0時(shí)，拋物線上存在圓D的覆蓋的特征點(diǎn).

解題反思

此題仍然屬于難度一般的壓軸題，在證明過程中，發(fā)現(xiàn)雖然給出的是覆蓋圖形W，其實(shí)仍然是考查函數(shù)圖象經(jīng)過某點(diǎn)，給出覆蓋定義和特征點(diǎn)描述，重點(diǎn)在后者。

本質(zhì)上覆蓋與否取決于范圍，定義中的點(diǎn)P是矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，由于矩形另兩邊分別是坐標(biāo)軸，所以點(diǎn)P決定了矩形能覆蓋的范圍大小，對(duì)于圖形W，無論其是否規(guī)則，組成它的所有點(diǎn)橫縱坐標(biāo)有最值，這又是一個(gè)范圍，兩個(gè)范圍間的比較，通常也是最值之間的比較。

第2問中，圓D作為圖形W之后，引入含參拋物線，構(gòu)建函數(shù)經(jīng)過某塊區(qū)域的情景，本質(zhì)上仍然是函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)的模型，而以上這些均出自于教材，說明在平時(shí)教學(xué)過程中，需要不斷深挖，例題、練習(xí)、習(xí)題是課本指出的方向，在它們基礎(chǔ)上相互融合，生成新的情景和概念，并在新的定義中運(yùn)用理解概念，能順利完成的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)的理解一定非常深刻。