小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生們會(huì)接觸到很多關(guān)于面積計(jì)算的公式，這些公式猶如一環(huán)又一環(huán)緊密相扣的鏈條，不斷地在“舊公式”的基礎(chǔ)上推陳出新。

圓的面積公式是小學(xué)階段所要學(xué)習(xí)的最后一個(gè)平面圖形面積公式，同樣可以通過轉(zhuǎn)化為已知圖形，進(jìn)而推導(dǎo)出公式。學(xué)生對(duì)公式之間存在密切聯(lián)系的感知是建立在公式推導(dǎo)過程中的，在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，他們更習(xí)慣于尋找決定公式的要素，進(jìn)而解決問題。很少有人會(huì)主動(dòng)從公式聯(lián)系的視角進(jìn)行思考。

學(xué)了這么多面積公式之后，這些公式在學(xué)生們的頭腦中會(huì)形成怎樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)呢？

作者：六5班 姜愷琪

觀點(diǎn)1：我們最先學(xué)的是長(zhǎng)方形，其它圖形的面積公式都是以長(zhǎng)方形為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的。

觀點(diǎn)2：圓可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形和梯形，這些圖形與圓都有著密切的聯(lián)系。

觀點(diǎn)3：我們發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形和三角形面積之間有聯(lián)系，它們都可以分割成三角形的面積進(jìn)行計(jì)算。

觀點(diǎn)4：長(zhǎng)方形、三角形、梯形和圓都可以通過切拼轉(zhuǎn)化成平行四邊形，正方形是特殊的長(zhǎng)方形。

可以看出，不同的人對(duì)于面積公式建立的知識(shí)結(jié)構(gòu)并不完全相同，對(duì)此我們并不需要強(qiáng)求一致。學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)需要有一個(gè)自我建構(gòu)的過程，只要能夠做到“言之有理”，就應(yīng)允許學(xué)生有自己獨(dú)特的見解。學(xué)生自己建構(gòu)面積公式的圖式結(jié)構(gòu)無關(guān)對(duì)錯(cuò)，只應(yīng)有“好”與“不好”之分。

總體上看學(xué)生制作的思維導(dǎo)圖，極少有學(xué)生會(huì)把梯形作為中心進(jìn)行梳理。于是，在學(xué)生充分表達(dá)自己觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上，老師因勢(shì)利導(dǎo)提出了如下思考：

古書記載，有一個(gè)原始部落，他們非常喜歡四邊形，尤其是崇拜四邊形中的梯形。在他們那里，沒有其他圖形的面積計(jì)算方法，只有梯形的面積計(jì)算公式，他們能解決其它圖形的面積問題嗎？

有的同學(xué)對(duì)這個(gè)問題感覺茫然，因?yàn)樗麄儚奈磸摹斑\(yùn)用”的角度思考過面積公式間聯(lián)系的問題；有的同學(xué)則按照“推導(dǎo)”的思路，從梯形面積公式出發(fā)，開始推導(dǎo)其它圖形。一番思考探究之后，牧宸同學(xué)的發(fā)言引起了大家的共鳴：

在上述講解過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)如下的共同之處：

橫線上的部分都是在求兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，這個(gè)平均數(shù)能在圖形中找到嗎？

借助動(dòng)畫的演示，學(xué)生能夠直觀地認(rèn)識(shí)到“梯形中位線的長(zhǎng)度恰好等于上底與下底之和的一半”，進(jìn)而體會(huì)這些圖形的面積都可以通過“中位線×高”加以解決。

回顧平面圖形面積的學(xué)習(xí)歷程，我們按照“長(zhǎng)、正方形→平行四邊形→梯形”的順序，由“特殊”逐漸走向“一般”，走的是一條“推導(dǎo)之路”。而用梯形的面積公式計(jì)算其它圖形的面積，走的則是一條“運(yùn)用之路”。之所以梯形的面積公式可以解決其它四邊形的面積，是因?yàn)橄鄬?duì)長(zhǎng)、正方形和平行四邊形而言，梯形更為一般。所以走“運(yùn)用之路”就是經(jīng)歷由“一般”走向“特殊”的過程。

為了讓學(xué)生更為深刻地認(rèn)識(shí)“由特殊到一般”的研究思路，課堂上又提出如下問題進(jìn)行研究：

正方形的面積除了可以用“邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”計(jì)算以外，還可以用“對(duì)角線×對(duì)角線÷2”計(jì)算。在“S_正=n×n÷2”這個(gè)公式中（n表示正方形的對(duì)角線），影響S_正的要素是什么呢？顯然就是正方形的對(duì)角線。正方形的對(duì)角線有什么特點(diǎn)呢？相等且互相垂直平分。那么，

問題1：你能找到更一般的情況嗎？

問題2：到底什么樣的四邊形可以用“對(duì)角線×對(duì)角線÷2”計(jì)算面積呢？

面對(duì)第5種情況，學(xué)生是有不同看法的。有的人表示可以用“對(duì)角線×對(duì)角線÷2”計(jì)算面積，有的人則持反對(duì)意見。贊同的同學(xué)是怎樣思考的呢？他們認(rèn)為在四邊形外并不一定非要畫長(zhǎng)方形，畫一個(gè)平行四邊形就可以解決問題了。

“對(duì)角線×對(duì)角線”就是平行四邊形的面積，四邊形的面積是平行四邊形面積的一半，所以面積就是“對(duì)角線×對(duì)角線÷2”。

問題的癥結(jié)找到了，這些同學(xué)誤以為平行四邊形的面積就是相鄰的兩條邊相乘的積。按理說這樣的混淆，早在初學(xué)平行四邊形的面積時(shí)就已經(jīng)解決了，但它仍然會(huì)時(shí)不時(shí)地冒出來，干擾一部分孩子的思考?？梢娫醋院⒆幼约旱摹霸J(rèn)知”——鄰邊相乘就是平行四邊形的面積，是有多么的“頑強(qiáng)”。問題厘清了以后，“對(duì)角線互相垂直的四邊形，它的面積=對(duì)角線×對(duì)角線÷2”的結(jié)論也就顯而易見了。

這個(gè)部落的人能利用梯形的面積公式計(jì)算圓的面積嗎？這個(gè)問題讓學(xué)生們想起了利用“茶杯墊”推導(dǎo)圓面積公式的方法：

從而順利得到：圓的面積也可以用梯形面積公式（0+C）×r÷2解決的結(jié)論。而借助三角形“形變積不變”的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的演示，則讓孩子們眼界大開，感嘆“原來還可以這樣做”。

梯形面積公式的神奇不止于此，它還可以解決圓環(huán)的面積問題以及等差數(shù)列求和的問題。     

梯形的面積公式與等差數(shù)列求和公式在結(jié)構(gòu)上是一致的，兩者之間真的可以畫等號(hào)嗎？運(yùn)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算出的是木頭的根數(shù)，而梯形的面積公式計(jì)算出的則是面積單位的個(gè)數(shù)，一個(gè)面積單位對(duì)應(yīng)一根木頭。從這個(gè)意義來說，用梯形的面積公式是可以計(jì)算出木頭根數(shù)的。

如果將算式變形為（1+7）÷2×7，從數(shù)列的角度來看，（1+7）÷2求的是等差數(shù)列的平均數(shù)；而從梯形的角度來看，（1+7）÷2求的是中位線的長(zhǎng)度。（1+7）÷2×7實(shí)際就都是在運(yùn)用“一行有幾個(gè)（木頭或面積單位）×行數(shù)”來解決問題，從這個(gè)角度來看同樣是可行的。

現(xiàn)在你是否和我一樣，認(rèn)為梯形的面積公式真的很神奇了呢？

這節(jié)課的教學(xué)主要想傳遞兩個(gè)意圖。

一是體會(huì)“由特殊到一般”的研究路徑，之所以從“特殊”入手，是因?yàn)椤疤厥狻本邆涞奶攸c(diǎn)更多且更明顯，更容易被我們所感知，從而發(fā)現(xiàn)某些特定的規(guī)律。這樣的規(guī)律能不能被進(jìn)一步推廣呢？這就需要我們尋找到更一般的情形，進(jìn)而得到更為“普適”的規(guī)律。在過程中體會(huì)“由特殊到一般”的研究路徑是本課教學(xué)所要傳遞的核心意圖。

本課的課題叫做“神奇的公式”，表面上是要體會(huì)梯形面積公式的神奇，其實(shí)我們真正要給學(xué)生傳遞的是要“構(gòu)建知識(shí)間的彼此聯(lián)系”，這是本課教學(xué)所要達(dá)成的第二個(gè)重要意圖。我們要將學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行梳理，將零散的知識(shí)點(diǎn)串成線、織成網(wǎng)，如果這樣的工作能夠由學(xué)生自主完成，那將是一件何其美妙的事情啊！

坦率地說，這節(jié)課的學(xué)習(xí)并不輕松，學(xué)生需要一步一步地逐級(jí)而上，將思考逐步走向深入。學(xué)習(xí)過程中會(huì)有學(xué)生感覺“有難度”“想不明白”，但這并不妨礙他們?cè)诳吹浇Y(jié)果時(shí)或在他人提醒下的“恍然大悟”。在日常教學(xué)中，我們既需要開展夯實(shí)基礎(chǔ)的“接地氣”，也需要開拓眼界、提升素養(yǎng)的“開天窗”。

【結(jié)束語(yǔ)】

這節(jié)課的設(shè)計(jì)意愿源于與周周同學(xué)的一次簡(jiǎn)短對(duì)話，正是她與眾不同的求圓面積的方法，讓我有了設(shè)計(jì)一節(jié)梳理課的“沖動(dòng)”。這段經(jīng)歷也在提醒我要留意觸發(fā)靈感的瞬間，并努力將想法變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，否則一時(shí)迸發(fā)的靈感就會(huì)逐漸淡薄、消失。

2021/9/24