|
選自《解析幾何高觀點(diǎn)、新視野》 一、高觀點(diǎn)下的基本結(jié)論 解析幾何可以歸結(jié)為“代數(shù)化”(方法本質(zhì))、“幾何分析”(問題本身)、“結(jié)論”(作為幾何圖形的性質(zhì)),我們享受結(jié)論給我們帶來的美妙,同時(shí)也困惑:阿波羅尼奧斯早在公元前 200 多年著的《圓錐曲線論》就給出了 364 個(gè)關(guān)于圓錐曲線的定理,那些才是基本的,怎么背,背住了,但面對具體的問題情境常常忘記使用結(jié)論,考試增加探究性,就會(huì)增加情境的復(fù)雜性,把結(jié)論隱藏起來,從命題的過程來看:常常就是在結(jié)論的基礎(chǔ)上,再增加一些其它知識。我們習(xí)慣了程序化的運(yùn)算,也尋思幾何分析來優(yōu)化,通過一些結(jié)論高效解題,但卻常常忘記模型,其實(shí)模型是結(jié)論的直觀化,幾何的模型(結(jié)構(gòu))往往比代數(shù)結(jié)構(gòu)更為簡單,所以從最基本的定義出發(fā),考慮曲線中最基本的量、特殊的量,比如:焦半徑、焦點(diǎn)弦等,從復(fù)雜的圖形中抽象出最簡單的圖形——三角形,得到很多基本模型,而這些涵蓋了全國卷的所有考查題目。如果我們把焦點(diǎn)位置一變,又會(huì)產(chǎn)生很多新的結(jié)論,所以我們不需要全部精準(zhǔn)地背住下面的結(jié)論,我們需要有的是這個(gè)意識,還需要敏銳地感覺到在不同情境中可能出現(xiàn)的差異,比如過橢圓的下頂點(diǎn) P,做兩條直線分別交橢圓與 A,B, 若 直線 AB 過定點(diǎn) M; 若 直線 AB 也過定點(diǎn) N,我們需要敏銳地感覺到 M 在 y 軸上,而 N 不一定在 y 軸上。因?yàn)樵?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/08/2310/228975423_1_20210823100954838' data-galleryid="" data-ratio="0.8666666666666667" data-s="300,640" data-type="png" data-w="30" style="height: 15px;text-indent: 34px;text-align: center;width: 15px;" src="http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/08/2310/228975423_1_20210823100954838">中取 和取 得到 AB 是關(guān)于 y 軸對稱的兩條直線,所以定點(diǎn)在 y軸上,但這卻不適合,故猜想 N 很可能不在直線上。運(yùn)動(dòng)中的不變性,即性質(zhì),亦是結(jié)論,所以解析幾何中的結(jié)論,更傾向于通過圖形的運(yùn)動(dòng)變化來整合、理解和記憶,比如切線可以視為切點(diǎn)弦的極限,相交弦定理、切割線定理視為同一個(gè)定理中交點(diǎn)從圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)到圓外,所以它們代數(shù)的表達(dá)是一致的。對古希臘幾何法的質(zhì)疑產(chǎn)生了解析幾何,對前兩者的質(zhì)疑產(chǎn)生了射影幾何,一種幾何學(xué)可以用公理化的方法來構(gòu)建,也可以把變換群與幾何學(xué)聯(lián)系起來,給幾何學(xué)以新的定義(變換群)。我們把幾何問題放在不同的理論中思考,往往更加全面透徹,比如:過圓錐曲線上一點(diǎn)作兩條斜率互為相反數(shù)的直線與曲線分別交于另外兩點(diǎn) P,Q,則 PQ 所在直線斜率為定值;過圓錐曲線上一點(diǎn)做兩條斜率和為定值(不為 0)的直線與圓錐曲線分別交于另外兩點(diǎn) P,Q,則直線 PQ 過定點(diǎn).從代數(shù)的角度來理解, 是的特殊情況,但它們卻得到了不同的結(jié)論,如果把中的 P 放在上頂點(diǎn),我們讓斜率變化,我們會(huì)得到一系列平行的直線,如果借助射影幾何觀點(diǎn):兩條平行線會(huì)交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn),此時(shí)我們又可以把整合到中。圓錐曲線有統(tǒng)一的定義,那性質(zhì)常常也是相通的;數(shù)量積給出了的橫坐標(biāo)式子與縱坐標(biāo)式子的和為常數(shù),斜率之積給出了橫坐標(biāo)式子與縱坐標(biāo)式子的倍數(shù)關(guān)系,它們通過代數(shù)中最基本的運(yùn)算給出了橫坐標(biāo)式子與縱坐標(biāo)式子等量關(guān)系,更傾向于通過聯(lián)系、對比和推廣來記憶。定點(diǎn)和定值相互“牽連”,過定點(diǎn)常常會(huì)產(chǎn)生定值,反之亦是。理解“定”的內(nèi)在聯(lián)系,就是深刻理解結(jié)論。比如拋物線中直線過焦點(diǎn),會(huì)得到坐標(biāo)之積為定值,與某個(gè)點(diǎn)張角為定值等結(jié)論。三、結(jié)論的梳理
|
