本講適用于初一、初二、初三，因?yàn)槲覀兊膴W數(shù)講解主要帶著學(xué)生學(xué)習(xí)有深度、新穎、競賽性的奧數(shù)知識和題目，所以只要有課堂上基本的知識儲備，都可以一起來學(xué)習(xí)，相信對你的奧數(shù)、數(shù)學(xué)思維，解題思路都大有裨益。

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一、知識點(diǎn)解析

1. 在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是相交或平行。

2. 在兩條直線相交的位置關(guān)系中，兩條直線互相垂直是一種重要的特殊情況。關(guān)于垂線有下列性質(zhì)：

（1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

（2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。

3. 兩條直線平行的判定方法和重要性質(zhì)是我們研究平行線問題的主要依據(jù)。

（1）平行線的判定

a. 同位角相等，或內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

b. 平行于同一直線的兩條直線平行。

c. 垂直于同一直線的兩條直線平行。

（2）平行線的性質(zhì)

a. 過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行。

b. 兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

c. 如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它和另一條也垂直。

4. 線段AB中的中垂線（即垂直平分線）的性質(zhì)與判定

（1）線段AB的中垂線上任一點(diǎn)到兩個端點(diǎn)的距離相等。

（2）如果直線上任一點(diǎn)到線段AB兩個端點(diǎn)的距離相等，那么這條直線是線段AB的中垂線。

5. 當(dāng)兩條直線相交或兩條直線分別于第三條直線相交，就產(chǎn)生了對頂角、鄰補(bǔ)角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等位置關(guān)系角，善于從相交線中找出不同名稱的角是解相關(guān)問題的基礎(chǔ)。

這部分主要考察學(xué)生的對一些相交線、平行線的了解及掌握，這部分屬于幾何部分的基礎(chǔ)知識，這部分需要一些空間想象能力，題型變化多，要夯實(shí)基礎(chǔ)，才能保證在幾何的學(xué)習(xí)上趕超別人，讓我們在例題和解答中一起學(xué)習(xí)吧。

二、例題

例1 （全國初中數(shù)學(xué)公開賽試題）

如圖，有6條直線滿足a1∥a2，a1∥a2，且a1，a3，a5三線共點(diǎn)，則圖中有多少對同旁內(nèi)角？

（1）此題若用簡單的比比劃劃，逐一去數(shù)，很容易遺漏或重復(fù)，考慮分類計數(shù)；

（2）數(shù)三角形的數(shù)量，要有條理地去數(shù)。

解答：

例2 （“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題）

在平面上有n個點(diǎn)所組成的點(diǎn)集，如果以點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線都經(jīng)過點(diǎn)集中至少一點(diǎn)，那么這個點(diǎn)集就叫做n點(diǎn)的“祖沖之點(diǎn)集”，試在平面上表示出：

（1）一個6點(diǎn)的“祖沖之點(diǎn)集”；

（2）一個7點(diǎn)的“祖沖之點(diǎn)集”。

從整多邊形開始考慮構(gòu)造相應(yīng)的滿足條件的點(diǎn)集。

解答：

例3 （廣州、武漢、重慶、福州、洛陽初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

如圖，直線a∥b，那么 ∠x的度數(shù)為_________。

解答：

例4 （“祖沖之”杯數(shù)學(xué)邀請賽初二試題）

在圖中，已知AB∥CD，∠AFE = α，∠ECD = β，求∠E。

自然而然的輔助線方法。

解答：

例5

如圖，已知AB∥CD，BC∥DE，BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，求證：DG⊥BF。

有平行線、內(nèi)錯角、某一內(nèi)錯角的平分線，自然而然想到另一個內(nèi)錯角的平分線。

解答：

例6 

如圖，一位牧童從A地出發(fā)，趕著牛群到河邊飲水，然后再到B地，問應(yīng)該怎樣選擇飲水的地點(diǎn)，才能使牛群所走的路線最短？

“將軍飲馬”問題，關(guān)鍵在于利用對稱構(gòu)造兩點(diǎn)之間線段最短，可以延伸出很多相似的問題。

解答：

例7

如圖，在一條河的兩岸有A、B兩個村莊，現(xiàn)要在河上建一座橋，橋的方向與河流垂直，設(shè)河的寬度不變，試問，橋架在何處，才能使A到B的距離最短？

還是構(gòu)造兩點(diǎn)之間線段最短。

解答：

例8 （“希望杯”初一數(shù)學(xué)競賽題）

（1）請你在平面上畫出6條直線（沒有三條共點(diǎn)），使得它們中的每條直線恰好與另3條直線相交，并簡單說明畫法。

（2）能否在平面上畫出7條直線（沒有三條共點(diǎn)），使得它們中的每條直線恰好與另3條直線相交？如果能請畫出一例，如果不能，請簡述理由。

解答：

（2）在平面上不能畫出沒有3線共點(diǎn)的7條直線，使得其中每條直線都恰與另外3條直線相交。證明如下：

假設(shè)平面上可以畫出7條直線，其中每一條都恰與其他3條相交，因兩直線相交都只有一個交點(diǎn)，又沒有3線共點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另3條直線交得的3個不同的點(diǎn)。

按照直線數(shù)量去計算這些點(diǎn)，共7×3=21個交點(diǎn)，但每個交點(diǎn)分屬兩條直線，被重復(fù)計算了一次，所以這7條直線的交點(diǎn)總數(shù)為21/2=10.5個，矛盾。

如果你能夠在不看答案的情況下就很順利解決這些問題，那么說明你對相交線、平行線的掌握已經(jīng)很透徹，這樣的話可以加微信號miaomiao-asd，有更多有意思有深度的題目和講解可以提供，還可享受一對一線上咨詢輔導(dǎo)。關(guān)注抖音號 數(shù)學(xué)奧數(shù)思維拓展，觀看更新的相關(guān)視頻講解。