立體幾何解法第五招：開宗立派-建系求角

(2020年全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理科)如圖,為圓錐的頂點(diǎn),是圓錐底面的圓心,為底面直徑,.是底面的內(nèi)接正三角形,為上一點(diǎn),.

(1)證明:平面;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】見解析

【解析】

(1)證明:設(shè)的邊長(zhǎng)為,則可知,.

∵,∴,得.

∴,則.

∴,得.

同理,得.

又∵平面,平面,,

∴平面.

(2)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn)平行于方向?yàn)?/span>軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

由(1)可設(shè),則有,,,

.∴,,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

則得,得.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

則得,設(shè),

則.

∴二面角的余弦值為.

(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題涉及的點(diǎn)、直線、平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(化為向量問題)

(2)通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題;(進(jìn)行向量運(yùn)算)

(3)把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。(回到圖形)

一、異面直線所成的角

設(shè)兩異面直線所成的角為,分別是的方向向量,注意到異面直線所成角的范圍是,則有

二、直線和平面所成的角

如圖,點(diǎn)在平面外,為內(nèi)一點(diǎn),斜線和平面所成的角為,為的一個(gè)法向量,注意到斜線和平面所成角的范圍是,則有,結(jié)合向量的夾角公式便可求

三、二面角

如圖,分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)且垂直于棱,分別是的一個(gè)法向量,則可利用向量的夾角公式結(jié)合以下角度關(guān)系之一求二面角的大小:

(1)等于二面角的平面角;

(2)與二面角的平面角相等或互補(bǔ)。

評(píng)議:利用向量法求空間角的大小,經(jīng)常用到平面的法向量。求法向量的方法主要有兩種:

1、求平面的垂線方向向量；

2、利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量數(shù)量積為零列出方程組求。

1.如圖三棱柱中,底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,,分別為,的中點(diǎn),,.

(1)證明:平面.

(2)求二面角的平面角大小.

2.如圖,四面體中,是正三角形,是直角三角形,,.

(1)證明:平面平面.

(2)若,求二面角的余弦值.

3.在棱長(zhǎng)為的正方體中,為的中點(diǎn),過,,的平面交于點(diǎn).

(1)求證:;

(2)求二面角的余弦值.