因為第三章和第四章比較重要，內(nèi)容很豐富，重難點也很多，所以分為中、下兩篇，分別介紹。

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)。

3.1函數(shù)的概念及其表示

這一節(jié)本身就分為兩部分，第一部分是函數(shù)的相關(guān)概念：

包括映射的概念——在新教材中取消了映射這一概念的教學(xué)，但是概念對于理解函數(shù)還是有幫助的。

所以在此補(bǔ)上我覺得很有必要。

函數(shù)的概念——包括高中數(shù)學(xué)里函數(shù)的新定義，定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系等，之前我評測過，非常詳細(xì)具體，所以花的筆墨比較多，但是對于自學(xué)，我覺得是值得的。

之后的部分都是圍繞函數(shù)概念的專題練習(xí)：

區(qū)間、判斷函數(shù)相等的方法、求函數(shù)值。

定義域。

值域。

映射主要是一種集合的對應(yīng)關(guān)系，重點在于對映射的結(jié)構(gòu)認(rèn)識，以及集合A中元素的任意性和集合B中元素的唯一性?？疾鞂W(xué)生對于使用概念判斷的能力。

在映射的基礎(chǔ)之上理解函數(shù)定義，會更加的清晰。

判斷函數(shù)是否相等在高一是一種比較基礎(chǔ)的題目，考察的是學(xué)生對于函數(shù)定義域和對應(yīng)法則的認(rèn)識。

這是求函數(shù)值里一道題目，主要意圖是讓學(xué)生體會f(x)、f(a)的區(qū)別，學(xué)會整體思想。

抽象函數(shù)的定義域在高考中現(xiàn)在出現(xiàn)的不多，但是相關(guān)的思想還是經(jīng)常遇到的。高一也是比較常見的題型。

定義域也是基本題型和重點內(nèi)容，我們討論函數(shù)問題，首先就是要考慮定義域。

求值域是函數(shù)里的常見題型，結(jié)合單調(diào)性求值域，結(jié)合圖像求值域是比較常見的題型，尤其是二次函數(shù)以及反比例函數(shù)相關(guān)的，屬于重點和難點。

分參法轉(zhuǎn)換為反比例函數(shù)，算是一個難點吧。

本節(jié)的第二部分是函數(shù)的表示法。

這一節(jié)主要介紹了函數(shù)的表示方法——圖表法、圖像法、解析式法。

但重點、難點是復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)以及求函數(shù)解析式中的換元法。

函數(shù)的三種表示方法，各有側(cè)重。

需要注意的是，它們所表示的都是函數(shù)，這也是我們數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的基礎(chǔ)。

分段函數(shù)和之后的復(fù)合函數(shù)是貫穿整個函數(shù)部分的內(nèi)容，它們不是獨立的函數(shù)類型，而是函數(shù)的組合形式，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，也是重難點。

分段函數(shù)的核心是定義域，正是因為在定義域的不同區(qū)間，對應(yīng)關(guān)系不同，導(dǎo)致函數(shù)圖像是一段一段的，但即使如此，這也是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)是一種函數(shù)的組合形式，也因此，我們會在不同章節(jié)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。

這里的側(cè)重點在于對復(fù)合函數(shù)組合形式的認(rèn)識，也是再次體會整體思想。

分段函數(shù)的值域問題，是一個比較重要的點。

一個非常重要的方法就是數(shù)形結(jié)合。

分段函數(shù)也是比較重要的一種題型，內(nèi)容非常豐富，除了上面的求值域之外，下面的已知函數(shù)值求自變量和解不等式，都是高一常見的重要考點。

求函數(shù)解析式中，換元法是非常重要的方法，不單單是因為這種題型常見，更重要的是換元是數(shù)學(xué)解題中的一種常見思想方法，它可以化復(fù)雜為簡單。

換元需要注意換元前后范圍的一致性。

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)。

這一節(jié)仍然是本章里的核心章節(jié)，難點和重點，包含兩個內(nèi)容——單調(diào)性和奇偶性，也包含了函數(shù)里的大部分題型，這兩個性質(zhì)也是貫穿函數(shù)的始終，是非常重要的工具。

這里的單調(diào)性因為所學(xué)的函數(shù)比較少，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)還沒有學(xué)，所以比較簡單。

它包含單調(diào)性的概念，單調(diào)性的證明，單調(diào)性與運算的結(jié)合，單調(diào)性的基本應(yīng)用——解不等式、最值等內(nèi)容。

還有二次函數(shù)求最值，以及最值與恒成立問題。

單調(diào)性的概念比較抽象，最好是結(jié)合圖像來體會，要明白單調(diào)性定義中的任意性和局部性。

這里最值的概念是比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

利用單調(diào)性的定義來證明函數(shù)單調(diào)性是一種基本技能，其中滲透的方法技巧在其他的題目中也會用到。

但是在熟練之后，我們一般不用定義來判斷函數(shù)單調(diào)性，因為有些函數(shù)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，一般我們是用基本初等函數(shù)的單調(diào)性和疊加，以及圖像變換來解決。

以上主要是關(guān)于單調(diào)性的概念。下面則是單調(diào)性的相關(guān)應(yīng)用，比如解不等式等。

單調(diào)性的本質(zhì)其實是一種不等關(guān)系，所以解不等式、判斷大小、求最值都屬于單調(diào)性的應(yīng)用。

比如求二次函數(shù)的最值。這種問題其實在之前就接觸過，只不過是以求值域的形式出現(xiàn)的，最值和值域是極度相關(guān)但又有所不同的兩個概念。這里的求最值相較于前面更復(fù)雜一些，屬于含參數(shù)的求最值，軸定區(qū)間動和軸動區(qū)間定兩種。

這里總結(jié)的很好，兩種做法都很有用。

恒成立問題屬于是最值問題中比較典型的問題，一個重難點。

分離參數(shù)法是恒成立問題中的常用做法，重難點。

本節(jié)的第二部分是函數(shù)的奇偶性，也是函數(shù)中的一個重難點。

奇偶性因為其圖像體現(xiàn)的特征比較明顯。

所以本節(jié)首先介紹了奇偶性和函數(shù)對稱性的一些知識。

之后包含了證明函數(shù)奇偶性、利用奇偶性解題、奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合、圖像的對稱變換、平移變換、翻折變換。

函數(shù)奇偶性的實質(zhì)是當(dāng)自變量互為相反數(shù)時，其函數(shù)值的正負(fù)情況。反映到圖像上就是關(guān)于y軸或者關(guān)于原點的對稱。

定義的價值就是給出了證明方法，也給出了性質(zhì)。

圖像的平移變換遵循的是左加右減上加下減，但很多時候老師講的不夠詳細(xì)，在這里難能可貴的給出了比較具體的解釋。

對稱變換。這里一定要區(qū)分清楚對稱變換和奇偶性的區(qū)別，奇偶性是一個函數(shù)本身的性質(zhì)，對稱變換是兩個函數(shù)之間的關(guān)系。

判斷函數(shù)的奇偶性第一首先要看定義域是否關(guān)于原點對稱，第二是利用定義判斷。但到了高年級，再判斷奇偶性就很少用定義，而是用圖像變換、奇偶性疊加、常見函數(shù)的奇偶性來解決。

利用奇偶性求函數(shù)值，主要是利用其能將自變量正負(fù)轉(zhuǎn)換的作用。當(dāng)然在這道題目里，其實質(zhì)是對稱性與周期性的結(jié)合。如果有條件，利用圖像來理解是最好的。這算是一個難點。

同樣的重點題型，利用奇偶性求分段函數(shù)解析式。

利用奇偶性來求值，主要是求解析式中某個參數(shù)的值，仍然是應(yīng)用定義來作為性質(zhì)應(yīng)用，當(dāng)然還有更簡單的做法，這種題目主要是奇函數(shù)。

奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合，最后轉(zhuǎn)化為非常典型的一種題目。

函數(shù)的翻折變換。

3.3冪函數(shù)

冪函數(shù)的知識相對簡單，其實在以前，冪函數(shù)是在奇偶性以前，因為大量的冪函數(shù)存在奇偶性。

可以說，冪函數(shù)的學(xué)習(xí)有一部分作用就是為奇偶性提供函數(shù)素材。

最后一部分綜合大題精講，是非常重要的內(nèi)容。

在這里多說兩句，洋蔥里面大量的課程講解是免費的，而且是連續(xù)的，你不花錢也可以收獲很多。

但這畢竟是要盈利的，所以其中的一些專題性質(zhì)的，尤其是解題專題，是收費的，我們不能非要求人家完全免費對吧，畢竟人家也不欠咱們的，對吧。

這一專題主要是函數(shù)的含參問題。

是重點、也是難點。

基本上高中數(shù)學(xué)里比較難的題都是含參的題目，含參就意味著需要討論，討論就意味著要分類，分類就意味著對概念要非常清晰，思路要很清楚，邏輯很嚴(yán)謹(jǐn)。

對于學(xué)生的要求很高。

但是這種專題性質(zhì)的整理總結(jié)對于中上等學(xué)生來說能節(jié)約很多時間，因為人家已經(jīng)為你整理好了。

這個專題放在這里也有一定的局限性，因為學(xué)習(xí)的函數(shù)還不夠多，所以大部分題目都是以二次函數(shù)為背景，某種意義上可以說相當(dāng)于是對二次函數(shù)題目的重新拔高。

函數(shù)的含參問題可以按照區(qū)間含參、解析式含參、兩者都含參來分類。

區(qū)間含參主要思路是先畫出函數(shù)圖像，再討論區(qū)間和圖像的關(guān)系。

函數(shù)含參的題目種類很多，比如說求參數(shù)，或者直接帶參數(shù)計算。

此時，區(qū)間一般是確定的。

函數(shù)含參問題還有一種，就是函數(shù)的零點問題，以及函數(shù)的交點問題。

比如下面這道題，你覺得它是一個交點問題，但是可以轉(zhuǎn)化成零點問題，零點問題又可以轉(zhuǎn)化成方程根的問題。

這里面的轉(zhuǎn)化是很重要的，方程根的問題——函數(shù)零點問題——函數(shù)交點問題。

同樣的轉(zhuǎn)換比如恒成立（存在）問題轉(zhuǎn)化成最值問題。

轉(zhuǎn)換思想是高中數(shù)學(xué)里比較常用的思路，很多題目的條件需要轉(zhuǎn)換之后才能體現(xiàn)它的實際作用。

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)就到此結(jié)束了。

希望對大家有用。