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與三角形相關(guān)的“五心”——1.7周測(cè)部分習(xí)題解析

 昵稱75938435 2021-06-24

本周周測(cè)部分習(xí)題考察了三角形的外心和內(nèi)心,一些同學(xué)在概念上出現(xiàn)了問(wèn)題。下面對(duì)與三角形相關(guān)的“五心”——重心、垂心、內(nèi)心、旁心、外心,的概念及相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)要的歸納,對(duì)部分周測(cè)試題給予一定的解析。

1、重心——三角形三條中線的交點(diǎn)

重心定理:三角形的重心把三角形的中線分為1:2的兩部分(同學(xué)們可自行證明)

2、垂心——三角形三條高所在的直線的交點(diǎn)

注:①三角形的高是線段,不一定相交,故而垂心是三角形三條高所在直線的交點(diǎn)。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)部,直角三角形的垂心是直角頂點(diǎn),鈍角三角形的垂心在三角形外部。②上圖給出了垂心的另一種定義方式,即三角形三個(gè)垂足構(gòu)成的三角形內(nèi)切圓的圓心,有興趣的同學(xué)可以研究下。

3、內(nèi)心——三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)(三角形內(nèi)切圓的圓心)

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

4、旁心——三角形兩外角平分線的交點(diǎn)

注:①三角形的旁心有三個(gè),到三角形三邊的距離都相等;②三角形的旁心同時(shí)也在剩余的三角形內(nèi)角的角平分線上;③如上圖所示,與三角形的一邊及其他兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓叫做三角形的旁切圓,旁切圓的圓心也就是三角形的旁心。

5、外心——三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)(三角形外接圓的圓心)

三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

特別地,正三角形(等邊三角形)的四心(重心、垂心、內(nèi)心、外心)共點(diǎn)(同一個(gè)點(diǎn)),五心共線(與旁心在同一條直線上),我們稱共點(diǎn)的四心為其中心。中心的概念僅在正多邊形中提起。

復(fù)習(xí)完三角形的“五心”,我們來(lái)看這周周測(cè)的兩道小題。明確了概念其實(shí)很容易求解。

7、△ABC的外心為O,∠BOC=80°,則∠BAC=(     )

A、40°               B、100°

C、40°或140°     D、40°或100°

分析:既然涉及到外心,就與三角形的外接圓結(jié)合起來(lái),運(yùn)用圓周角定理。此題由于點(diǎn)A位置的不確定性,其實(shí)就是解決一條弦所對(duì)的圓周角的問(wèn)題,度數(shù)上有兩個(gè),且為互補(bǔ)的關(guān)系,如圖。答案選C

8、I是△ABC的內(nèi)心,AI的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D,連接BI、BD、DC,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是(    )

A、線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DC重合

B、線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DI重合

C、∠CAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與∠DAB重合

D、線段ID繞點(diǎn)I順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與線段IB重合

分析:選D。本題涉及到內(nèi)心,同學(xué)們做題時(shí)易將點(diǎn)I看做△ABC外接圓的圓心(外心),這是不對(duì)的,這是概念不清的表現(xiàn)。事實(shí)上,本題中我們可以證明DB=DI=DC,并進(jìn)一步,點(diǎn)B、I、C在以D為圓心的圓上。這個(gè)命題的證明,依賴于內(nèi)心的運(yùn)用。由于點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,故而∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI。BD=CD易證(由∠BCD=∠CBD,或取圓心連半徑,根據(jù)圓心角定理由圓心角相等得),關(guān)鍵是證明DB=DI。這里我們充分運(yùn)用外角,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBD+∠CBI,而∠ABI=∠CBI、∠BAD=∠CBD,故而得證DB=DI,進(jìn)而可以推出點(diǎn)B、I、C在以D為圓心的圓上,且半徑為DB。

希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)一定要學(xué)會(huì)總結(jié),理清概念,概念是解決問(wèn)題的基石。

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