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2021年馬其頓IMO國家隊(duì)選拔平面幾何題

 余佑官 2021-06-09

2.銳角⊿ABC,AB<AC,設(shè)A為點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn). ⊿ABC的外接圓與射線AB、AC分別交于點(diǎn)DE,已知BAD之間,EAC之間.取線段BCCD、BE的中點(diǎn)S、P、Q.求證:直線BCAA的交點(diǎn)在⊿PSQ的外接圓上.

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證明:用A、B、C表示⊿ABC 的對應(yīng)角,BC=a, AC=b, AB=c.由已知條件易得∠A=BAC=BDC=ADC=AEB,所以AE=2AB·cosA=2c·cosA, AD=2AC·cosA=2b·cosA, CE=AC-AE=b-2c·cosA,BD=AD-AB=2b·cosA -c.

SQ=(1/2)CE=(1/2)(b-2c·cosA), SP=(1/2)BD=(1/2)(2b·cosA -c).S

X=SB-BX=(1/2)a-c·cosB.

注意到∠QSX=ACB=C,PSX=ABC=B,SQ//AC,SP//AB

PSQ=180o-A.由三弦定理之逆,要使S、Q、X、P四點(diǎn)共圓,只需:SQ·sinB+SP·sinC=SX·sin(180o-A)= SX·sinA.

將上面計(jì)算的各量代入上式即只要:

(1/2)(b-2c·cosA)·sinB+(1/2)(2b·cosA -c)·sinC=((1/2)a-c·cosB)·sinA

注意到余弦定理及正弦定理,用a,b,c分別代替sinA,sinB,sinC,借助余弦公式用a,b,c表示cosA和cosB,可以知道等式是成立的.于是由三弦定理逆定理知S、QX、P四點(diǎn)共圓,命題得證!

6.銳角ABC垂心為H,AB<AC,BHCH分別與AC、AB交于點(diǎn)EF,設(shè)M為BC中點(diǎn),過A作BC的平行線與CMF的外接圓交于點(diǎn)X、Y.其中X、B在AH同側(cè),Y、C在AH同側(cè).直線MX、MY與CF分別交于點(diǎn)U、V.求證:MUV的外接圓與EFH的外接圓相切.

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證明:記MUV的外接圓為ω,EFH的外接圓為Γ,Γ與CMF的外接圓的不同于F的交點(diǎn)為L.首先證明MF為Γ的切線和M、H、L三點(diǎn)共線.

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由M為BC中點(diǎn)知MF=MC,所以∠MLF=MCF=BCF=BAH=FAH=FLH,所以M、H、L三點(diǎn)共線.∠MLF=MCF=MFC,所以MFΓ的切線.易知⊿MVC∽⊿MCY,所以MVU=180o-MVC=180o-MCY=MXY,于是UVYX四點(diǎn)共圓.記AM交Γ為點(diǎn)T,于是MT·MA=https://mmbiz./mmbiz_png/ZnZT9H5wnuqKcAbHbtOKv4O1dLzcJQs0L0HhSLYe7dKoicMibFL8UcRzY8syGYbd2UMHtpKMlKmUylkMydn0tZcg/640?wx_fmt=png=https://mmbiz./mmbiz_png/ZnZT9H5wnuqKcAbHbtOKv4O1dLzcJQs0p2RYmticiazYBDjXno9d5tSmuOcKR5daVPDURiaKbsmkDezuxQv8Ps1tA/640?wx_fmt=png=MV·MY=MU·MX,所以ATUX四點(diǎn)共圓.于是UTM=AXM,注意到四邊形XMCY為等腰梯形

UTM=AXM=AYC=AYM+MYC=VMC+VCM=UVM,所以點(diǎn)T也在MVU的外接圓上.設(shè)Γ的圓心為P,⊿MVU的外心為K.MTK=MUT- 90o =TAX- 90o=PAT=PTA,于是P、T、K三點(diǎn)共線.而PT、TK分別為Γ和⊿MVU外接圓半徑,故ΓMVU外接圓相切于點(diǎn)T,命題得證!

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