題2.銳角⊿ABC中,AB<AC,設(shè)A’為點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn). ⊿A’BC的外接圓與射線AB、AC分別交于點(diǎn)D、E,已知B在AD之間,E在AC之間.取線段BC、CD、BE的中點(diǎn)S、P、Q.求證:直線BC與AA’的交點(diǎn)在⊿PSQ的外接圓上. 證明:用A、B、C表示⊿ABC 的對應(yīng)角,BC=a, AC=b, AB=c.由已知條件易得∠A=∠BA’C=∠BDC=∠ADC=AEB,所以AE=2AB·cosA=2c·cosA, AD=2AC·cosA=2b·cosA, CE=AC-AE=b-2c·cosA,BD=AD-AB=2b·cosA -c. SQ=(1/2)CE=(1/2)(b-2c·cosA), SP=(1/2)BD=(1/2)(2b·cosA -c).S X=SB-BX=(1/2)a-c·cosB. 注意到∠QSX=∠ACB=C,∠PSX=∠ABC=B,由SQ//AC,SP//AB 知∠PSQ=180o-A.由三弦定理之逆,要使S、Q、X、P四點(diǎn)共圓,只需:SQ·sinB+SP·sinC=SX·sin(180o-A)= SX·sinA. 將上面計(jì)算的各量代入上式即只要: (1/2)(b-2c·cosA)·sinB+(1/2)(2b·cosA -c)·sinC=((1/2)a-c·cosB)·sinA 注意到余弦定理及正弦定理,用a,b,c分別代替sinA,sinB,sinC,借助余弦公式用a,b,c表示cosA和cosB,可以知道等式是成立的.于是由三弦定理逆定理知S、Q、X、P四點(diǎn)共圓,命題得證! 題6.銳角⊿ABC垂心為H,AB<AC,高BH、CH分別與AC、AB交于點(diǎn)E、F,設(shè)M為BC中點(diǎn),過A作BC的平行線與⊿CMF的外接圓交于點(diǎn)X、Y.其中X、B在AH同側(cè),Y、C在AH同側(cè).直線MX、MY與CF分別交于點(diǎn)U、V.求證:⊿MUV的外接圓與⊿EFH的外接圓相切. 證明:記⊿MUV的外接圓為ω,⊿EFH的外接圓為Γ,Γ與⊿CMF的外接圓的不同于F的交點(diǎn)為L.首先證明MF為Γ的切線和M、H、L三點(diǎn)共線. 由M為BC中點(diǎn)知MF=MC,所以∠MLF=∠MCF=∠BCF=∠BAH=∠FAH=∠FLH,所以M、H、L三點(diǎn)共線.∠MLF=∠MCF=∠MFC,所以MF為Γ的切線.易知⊿MVC∽⊿MCY,所以∠MVU=180o-∠MVC=180o-∠MCY=∠MXY,于是UVYX四點(diǎn)共圓.記AM交Γ為點(diǎn)T,于是MT·MA===MV·MY=MU·MX,所以ATUX四點(diǎn)共圓.于是∠UTM=∠AXM,注意到四邊形XMCY為等腰梯形 ∠UTM=∠AXM=∠AYC=∠AYM+∠MYC=∠VMC+∠VCM=∠UVM,所以點(diǎn)T也在⊿MVU的外接圓上.設(shè)Γ的圓心為P,⊿MVU的外心為K.∠MTK=∠MUT- 90o =∠TAX- 90o=∠PAT=∠PTA,于是P、T、K三點(diǎn)共線.而PT、TK分別為Γ和⊿MVU外接圓半徑,故Γ和⊿MVU外接圓相切于點(diǎn)T,命題得證! (了解更多本人解答奧數(shù)題,歡迎關(guān)注微信公眾號:數(shù)學(xué)是思維的體操 |
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