以直代曲是微積分的基本思想

用來代替曲線的直線就是切線，這就是本課要討論的問題

對于一條曲線

我們感興趣的，可能有它的長度

它的面積，等等

但很顯然，因為是曲線，所以這些并不好求解。

我們需要想辦法把它用直線表示。

假設有曲線  和直線  ，如果兩者完全相等，那么有：

不過這顯然很難辦到。

但可以做到在某一點相等

下面，我們稍微進一步。以  為中心，取一小段

在這一段上，  與  相差很小

并且，隨著  的減小，直線不斷逼近曲線

將此推廣到整條曲線。首先將，曲線分成若干份

每份都用一條線段代替

并且隨著劃分的越來越細，這些直線越來越接近之前的曲線

這種，用直線代替曲線的方法，稱為以直代曲。

下面，將前面的分析，落到代數(shù)上

3.1 條件一

前面說過，在一小段區(qū)間上，直線與曲線相差較小 

加上高階無窮小  ,就可以把約等于變成等于

3.2 條件二

其次，曲線  與直線  在  點處相等。

如果，此時再知道直線的斜率 

那么就能得到直線的表達式

下面，我們就來求解斜率

經(jīng)過上面的分析我們有了：

將  用  代替

等式兩邊同除  

兩側(cè)取極限：  根據(jù)高階無窮小的定義，可知等式右邊為零  略微作一下化簡可得：

這個式子中的每個元素都是已知的。

這樣如果極限存在，則斜率存在，斜率存在就能求出直線     這就是以直代曲中的直，也就是切線。