例1：

如圖，AD∥BC，∠A＝∠C，試說(shuō)明AB∥DC．

分析：

要證AB∥DC，結(jié)合已知的∠A和∠C，可以借助∠CDE＝∠A，或∠ABF＝∠C來(lái)證，以∠CDE為例，它就是一個(gè)關(guān)鍵的中間角，不僅與∠A是同位角，與∠C也是內(nèi)錯(cuò)角，位置特殊，非常重要．

解答：

∵AD∥BC (已知)

∴∠C＝∠CDE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

又∵∠A＝∠C (已知)

∴∠A＝∠CDE(等量代換)

∴AB∥DC(同位角相等，兩直線平行)

變式：

如圖，∠1＝∠2，∠A＝∠C．試說(shuō)明∠E＝∠F．

分析：

本題同樣要關(guān)注中間角，∠1＝∠2的條件不能繼續(xù)得到結(jié)論，就得找中間角．顯然，找它們的對(duì)頂角，如∠1的對(duì)頂角就是∠2的同位角，接著可以證AB∥CD，而要將平行的條件與∠A＝∠C結(jié)合起來(lái)，又要再找一個(gè)中間角，結(jié)合例1，易知可找∠ABF或∠CDE．

解答：

如下圖，

∵∠2＝∠3(對(duì)頂角相等)

又∵∠2＝∠1(已知)

∴∠1＝∠3(等量代換)

∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行)

∴∠A＝∠4(兩直線平行，同位角相等)

又∵∠A＝∠C(已知)

∴∠C＝∠4(等量代換)

∴AE∥FC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)

∴∠E＝∠F(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

例2：

如圖所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，你能判斷∠ACB與∠AED的大小關(guān)系嗎?說(shuō)明理由．

分析：

本題同樣也要找中間角，∠1＋∠2＝180°的條件不能直接用，不難發(fā)現(xiàn)∠1的鄰補(bǔ)角和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，這就是關(guān)鍵的中間角，推出∠DFE與∠2相等后，可證AB∥EF，此時(shí)結(jié)合∠B＝∠3的條件，可發(fā)現(xiàn)，∠ADE是關(guān)鍵角．

解答：

∵∠1＋∠2＝180°(已知)

∠1＋∠DFE＝180°(鄰補(bǔ)角定義)

∴∠2＝∠DFE(同角的補(bǔ)角相等)

∴BD∥FE(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)

∴∠3＝∠ADE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

∵∠3＝∠B(已知)

∴∠B＝∠ADE(等量代換)

∴DE∥BC(同位角相等，兩直線平行)

∴∠AED＝∠ACB (兩直線平行，同位角相等)

模型1，2：

如圖，AB∥CD，探究∠B，∠D與∠BED之間的關(guān)系．

分析：

顯然本題不添加輔助線是無(wú)法解決的，因此，從這個(gè)模型開(kāi)始，我們要接觸初中階段幾何的第一種輔助線，由于∠B和∠D在被截直線內(nèi)側(cè)，我們要把∠B和∠D進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以通過(guò)內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，而此時(shí)想到過(guò)點(diǎn)E作平行，就可以同時(shí)構(gòu)造出∠B和∠D的內(nèi)錯(cuò)角．

解答：

過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB．

                          圖1                                圖2

如圖1，

∴∠B＝∠1，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠2＝∠D，

∴∠B＋∠D＝∠1＋∠2，

即∠B＋∠D＝∠BED．

如圖2，

∴∠B＋∠1＝180°，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠2＋∠D＝180°，

∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝360°，

即∠B＋∠D＋∠BED＝360°．

模型3，4：

如圖，AB∥CD，探究∠B，∠D與∠BED之間的關(guān)系．

分析：

顯然，圖形位置雖變，但添加輔助線的方法是不變的．

解答：

過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB．

                        圖3                              圖4

如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB．

∴∠B＝∠BEF，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠D＝∠1，

∴∠BED＝∠BEF－∠1

即∠BED＝∠B－∠D

如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB．

∴∠B＝∠1，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠D＝∠BEF，

∴∠BED＝∠BEF－∠1

即∠BED＝∠D－∠B

例3：

已知AB∥CD，∠1＝55°，∠C ＝100°，則∠A＝ ______°

分析：

顯然，本題蘊(yùn)含了模型2，求出∠1的補(bǔ)角，∠AEC的度數(shù)，利用模型2的結(jié)論，即可口算．

解答：

由題意得，∠AEC＝125°，∠A＋∠AEC＋∠C＝360°，∴∠A＝360°－125°－100°＝135°

例4：

如圖1，已知AB∥CD，∠E＝80°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD＝ ______°

分析：

本題其實(shí)蘊(yùn)含了2個(gè)模型，模型1和模型2，我們可以分別找出∠ABF，∠CDF與∠BFD的關(guān)系，∠E，∠ABE，∠CDE的關(guān)系，進(jìn)而可以利用整體思想來(lái)解決．

解答：

作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，

∵AB∥CD，

∴EG∥AB∥FH∥CD，

∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，

∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°，

∴∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°

∵∠BED＝∠BEG＋∠DEG＝80°，

∴∠ABE＋∠CDE＝280°，

∵∠ABF和∠CDF的角平分線相交于E

∴∠ABF＋∠CDF＝140°，

∴∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝140°