例1

如圖，在平面直角坐標系中，A(1，4)， B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四邊形OACB的面積，求點C的坐標．

分析：

首先，給出點C的坐標(m，－4m＋20)，你能想到什么?

由于縱坐標具有一次函數(shù)解析式的特征，則不難想到點C在直線y＝－4x＋20上．

而四邊形OACB四個字母的順序已定，因此本題只有一解．

接下來，我們繼續(xù)考慮，什么線有平分面積的作用？

三角形的中線．

連接AB，OC必然同時平分△OAB和△CAB的面積，則OC必經(jīng)過AB的中點，設中點為D，求出直線OD的解析式，其與直線y＝－4x＋20的交點即為點C．

解答：

例2

如圖1，直線l交x軸、y軸分別于A、B兩點，A(a，0)，B(0，b)，且(a－b)2＋|b－4|＝0．

(1) 求A、B兩點坐標；

(2) 如圖2，C為線段AB上一點，且C點的橫坐標是3．求△AOC的面積；

(3) 如圖2，在(2)的條件下，以OC為直角邊作等腰直角△POC，請求出P點坐標；

(4) 如圖3，在(2)的條件下，過B點作BD⊥OC，交OC、OA分別于F、D兩點，E為OA上一點，且∠CEA＝∠BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關系，并說明理由．

分析：

(1) 典型的0＋0型．

(2) 由點A，點B的坐標，求出直線AB的解析式，根據(jù)點C的橫坐標，求出點C的坐標，最后利用三角形的面積公式即可得解．

(3)見等腰直角三角形，你想到了什么模型？

一線三直角！因此過點P，點C作x軸的垂線段，構造全等，從而求出點P坐標．

(4)哪怕不會做，你先寫什么？

OD＝AE．

接下來怎么證呢？

顯然，考慮證明三角形全等，但是并沒有現(xiàn)成的三角形可證，必然要添輔助線．

給出的兩個條件，BD⊥OC，∠CEA＝∠BDO怎么用？

別忘了，其實由第(1)問可知，BO＝OA，而最終證明OD＝AE，則△BOD是關鍵三角形．

要證其他三角形與它全等，則需要構造，根據(jù)BO＝OA，則需要過點A構造直角．

解答：

(3)過點C作CD⊥x軸于D，過P作PE⊥x軸于E，

      易證△POE≌△OCD

      PE＝OD＝3，EO＝DC＝1

      P(－1，3)

(4) 過A作AG⊥x軸于A，交OC延長線于G

     易證△BOD≌△OAG(ASA)

     ∴∠BDO＝∠G，OD＝AG．
             ∵∠CEA＝∠BDO，
             ∴∠CEA＝∠G．
             ∵∠BAO＝45°，∠GAO＝90°，
             ∴∠CAG＝45°．

例3

如圖，直線MN與x軸，y軸正半軸分別交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，直線y＝x與直線MN交于點P，已知AC＝10，OA＝8．

(1)求P點坐標；

(2)作∠AOP的平分線OQ交直線MN與點Q，點E、F分別為射線OQ、OA上的動點，連結AE與EF，試探索AE ＋ EF是否存在最小值？若存在，請直接寫出這個最小值；若不存在請說明理由；

(3)在直線MN上存在點G，使以點G，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請求出點G的坐標．

分析：

(1) 求出OC的長，確定出C坐標，利用待定系數(shù)法求出直線MN解析式，與y＝x聯(lián)立方程組，即可求出交點P坐標．
(2) 作出相應的圖形，典型的將軍飲馬問題，作對稱，利用垂線段最短．
(3) 典型的兩圓一線問題，分三種情況考慮．

解答：