我們知道，折現(xiàn)率是計算債券理論價格的關鍵，但統(tǒng)一公認的折現(xiàn)率并不易獲得，這影響了債券理論價格的客觀性。取而代之，是否投資某債券的判斷標準是，以市場價格購買債券所得到的到期收益率是否有吸引力。那么，到期收益率是什么？它又是如何計算的呢？

債券到期收益率的計算，是債券定價的逆過程，即在債券價格、債券未來現(xiàn)金流已知的情況下，計算債券的投資收益率。具體來說，債券到期收益率是投資者購買債券并持有到期時，未來各期利息收入、到期償還面值的現(xiàn)值之和等于債券購買價格的折現(xiàn)率。計算公式如下：

這個公式是不是看著很熟悉，對，形式上它和我們前面學過的債券定價公式幾乎是一樣的。但是，這兩個公式的已知數(shù)和末知數(shù)是完全相反的。在債券定價公式中，假定已知投資者的期望收益率(即折現(xiàn)率)，要計算的是債券的理論價格?，F(xiàn)在的這個公式中，P是債券的市場價格，是已知的，要計算的是折現(xiàn)率，即到期收益率。債券到期收益率，也可以看作是債券所有現(xiàn)金流的凈現(xiàn)值等于零的折現(xiàn)率。計算公式如下：

債券購買價格也是一筆現(xiàn)金流，它是現(xiàn)金流出，通常在前面加個負號。這個公式可以看作是前面那個公式變形得來的。但這里提到一個重要的概念，凈現(xiàn)值。什么是凈現(xiàn)值呢？凈現(xiàn)值，也稱NPV,是指債券在未來所產(chǎn)生的現(xiàn)金流入的現(xiàn)值和現(xiàn)在購買債券所產(chǎn)生的現(xiàn)金流出之和。凈現(xiàn)值有何作用呢？凈現(xiàn)值是投資者在資產(chǎn)買賣中做出投資決策的重要依據(jù)之一。如果凈現(xiàn)值NPV大于0，NPV>0,表示該資產(chǎn)的內(nèi)在價值被市場低估了，可以買入；反之，NPV小于0則表示該資產(chǎn)被市場高估了，應考慮賣出。

好，我們繼續(xù)講到期收益率，舉例說明：例1:假設某投資者以990元的價格買到一張4年期債券，每年付息一次，息票率為8%，面值為1000元。

問: (1 )持有到期時該債券的到期收益率是多少?

可以直接套用前面的到期收益率的計算公式

根據(jù)這個公式，可以算出到期收益率y=8.30%，可能有同學會問，公式中有y的4次方，具體如何計算呢?具體計算方法，可以用插值法，也可以用EXCEL的IRR函數(shù)，或EXCEL的RATE函數(shù)。

插值法的計算思路是:先猜測一個數(shù)字，比如，y=9%，代入公式算出價格為967.6元，比990元更低，這說明猜測的這個9%數(shù)字太高了。接著再猜一個數(shù)字，比如y=8%，此時價格為1000元，比990元更高。這樣你就知道正確的y應該介于8%到9%之間。然后根據(jù)比例關系建立一個方程，就可以計算出到期收益率。

更高效的方法是利用EXCEL的函數(shù)來計算到期收益率?？梢允褂肊XCEL的IRR函數(shù)。假設現(xiàn)金流入為正，流出為負，將債券投資按時間先后發(fā)生的全部現(xiàn)金流表示為( -990，80，80,80，1080)，把這5個數(shù)字輸入到A1到A5單元格中，然后在A6單元格中插入IRR函數(shù)，輸入數(shù)據(jù)A1:A5，就可得出計算結(jié)果=8.30%。

更簡單的是使用EXCEL的RATE函數(shù)，只需要依次輸入四個參數(shù):付息次數(shù)4、付息金額80、債券價格990、債券面值1000就可以啦。注意輸入債券價格時，前面要加負號，因為它是現(xiàn)金流出。

第二個問題：( 2)如果期間再投資，收益率分別是6%、8.30%和10%，則投資該債券實際年收益率依次是多少?

再投資指的是債券到期前，獲得的利息可以再拿去投資，第1筆利息80元是在1年后獲得的，所以再投資的期限只有3年，最后獲得的1080元，已經(jīng)是第4年年末了，所以它的終值就等于它本身。當再投資收益率為6%時，全部現(xiàn)金流( 80,80,80,1080)，在第四年年末的終值之和為:1349.97元：

現(xiàn)值是購買價格990元，根據(jù)復利法計算公式，可算出實際年收益率是8.06%，按同樣的方法，把再投資收益率，換成8.30%、 10%，計算出實際年收益率，分別是8.30%、 8.49%，注意這個8.30%

恰好等于第1問算出來的到期收益率，這說明了什么呢？這表明，在投資者持有到期、再投資收益率等于到期收益率時，到期收益率就是實際收益率。

實際上，應用到期收益率時，通常以下面三個假設為前提，(1)投資者持有債券直至到期。（2）債券發(fā)行人完全按照事先承諾支付現(xiàn)金流。（3）各期利息收入要在債券剩余期限內(nèi)再投資，且再投資收益率等于到期收益率。

在這三個假設下，到期收益率成為是否應該投資一支債券的重要判定標準。當?shù)狡谑找媛?，也就是實際收益率，高于市場利率或必要收益率時，投資該債券可行，否則不可行。從理論上看，在套利機制作用下，到期收益率將趨近甚至等于相應的市場利率。故到期收益率，市場利率經(jīng)常交替使用。下面我們再通過一個例題，來看看債券到期收益率，息票率，面值，市場價格之間的關系。

例2:某債券面值為1000元，期限為3年，息票率為6%，每年付息一次。

問:若分別以980元、1000元、1050元買入，持有到期時該債券的到期收益率依次是多少?

按前面的計算公式和計算方法，你應該能很輕松地算出結(jié)果來，為方便比較，我把計算結(jié)果列在一張表中：

你從表中可以清晰的看到，市場價格與債券面值相比，有更低、相等、更高三種情況，依次稱之為折價、平價和溢價關系。對應的到期收益率與息票率之間，有大于、等于、小于三種關系。通過這個例子我們發(fā)現(xiàn)，若已知折價、平價和溢價關系，可以推算出到期收益率是否高于息票率。反過來，若已知到期收益率與息票率的關系，也是可以推算出市場價格是否高于債券面值。

比如，若已知到期收益率等于息票率，我們知道債券的市場價格就恰好等于債券面值。如何證明這一點呢？

證明:為簡單起見，假設債券期限為3年，每年付息一次。設:債券面值為M,息票率為r，每年的利息為r乘以M。市場價格為P，折現(xiàn)率為到期收益率，也是r。列出市場價格的計算公式

然后你會發(fā)現(xiàn)，公式的最后一項中，分子分母中可以約去(1+r)，約完之后，最后兩項一合并，又可以約去(1+r),就像玩消消樂游戲一樣，最后只剩下債券面值M。