【追本溯源·觸類旁通】

【題目】

如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長線于點(diǎn)H，連接BH．
（1）求證：GF=GC；
（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明．

證明：（1）如圖1，連接DF，

∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，

∵點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，∴△ADE≌△FDE，

∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵DF＝DC，DG＝DG，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；

（2）BH=?2AE，理由如下：

【方法一】

如圖2，在線段AD上截取AM，使AM=AE，

∵AD=AB，∴DM=BE，

由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，

∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，

即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，

∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，

∴∠1=∠BEH，

在△DME和△EBH中，

∵DM＝BE，∠1＝∠BEH，DE＝EH，

∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，

Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，

∴EM=?2AE，∴BH=?2AE；

【方法二】

如圖3，過點(diǎn)H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，

由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，

在△DAE和△ENH中，

∵∠A＝∠ENH，∠1＝∠NEH，DE＝EH，

∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，

∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，

∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，

∴BH=?2HN=?2AE．

【母題溯源】

人教版數(shù)學(xué)·八年下·第十八章·復(fù)習(xí)題·第14題·P69

題目的結(jié)論把證明AE=EF，變?yōu)榍驝F與BE的關(guān)系，本題的關(guān)鍵還是在于證明AE=EF．

【變式一】

題目：如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．求證：AE＝EF．

【變式二】

題目：如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，在正方形外角的平分線CF上取一點(diǎn)F使得AE＝EF．

求證：∠AEF＝90°．