比較大小思路多主考方法是同構(gòu)

泰榮林黑皮 2021-02-26

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比較大小思路多 主考方法是同構(gòu)

湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書

實數(shù)的大小比較在高考中是一種?？碱}型，大多以選擇題的形式出現(xiàn)，一般題目靠前的比較簡單些，靠后的難度較大是小題中的壓軸題。比較實數(shù)大小的思路方法較多，常用的有作差比較法、作商比較法、中間值比較法和構(gòu)造函數(shù)法等，較復(fù)雜的大小比較往往需要綜合幾種方法方能解決，其中構(gòu)造函數(shù)法是最重要最基本的主考方法。比較實數(shù)或式子大小的個數(shù)以三個者諸多，2014年湖北卷將實數(shù)比較大小推向頂峰。題目是6個指數(shù)式的大小比較，第1問判斷一個函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，第2問是求6個實數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)，第3問是要將6個實數(shù)用大小進行排序，并證明。三問層層推進，其中第1小問題是基礎(chǔ)，第3小問難度較大。

【說明】為了不發(fā)生誤解特作如下說明：本文以及本公眾號所說的“同構(gòu)”均指在證明不等式或判斷式子大小時，通過變形化為相同的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造一個函數(shù)來解決不等式證明或?qū)崝?shù)大小比較的思想方法。

我們先來看2017年高考全國卷I理科第11題及其諸多解法，這是一道實數(shù)大小比較的選擇題，題目如下。

考題1（2017年高考全國卷I理科第11題）

本題已知的是指數(shù)連等式，要判斷的是與指數(shù)相關(guān)的式子的大小比較，最容易想到的是將指數(shù)有關(guān)的大小比較轉(zhuǎn)化為對數(shù)的大小比較，為了便于比較在化為對數(shù)式時應(yīng)化同底的對數(shù)，我們可以考慮常用對數(shù)和自然對數(shù)，下面我們采用自然對數(shù)求解。實數(shù)大小比較主要有有三種方法：作差比較法、作商比較法和構(gòu)造函數(shù)法，其理論依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性。

解法1（作差比較）

解法2（作商比較）

點評：作差比較法和作商比較法只適合兩個數(shù)式的大小比較，構(gòu)造函數(shù)法是用函數(shù)的思想也就是整體的思想，將需要比較的兩個或兩個以上的量放到某個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上加以比較。整體思想和各個擊破的策略并不孤立的，關(guān)鍵是用得恰到好處，有時同一個問題的解決中既要用到整體思想又要用到各個擊破的策略，請看下面的解法4.

點評：本解法先用整體思想將指數(shù)大小比較轉(zhuǎn)化為對數(shù)大小比較，最后用各個擊破的策略將對數(shù)大小比較轉(zhuǎn)化為真數(shù)根式的大小比較。

點評：本解法用指數(shù)的運算性質(zhì)將已知等式變形配湊出需要比較大小的式子，將問題轉(zhuǎn)化為比較底數(shù)（根式）的大小。本解法用指數(shù)和根式的單調(diào)性比較大小，解題目標(biāo)意識強。

小結(jié)：比較上述5種解法可知，解法3構(gòu)造函數(shù)法，用函數(shù)的單調(diào)性可以將三個數(shù)式的大小比較一步到位；作差比較法和作商比較法，根據(jù)選項設(shè)置特點也要作兩次比較；解法4和解法5，將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式或根式比較大小，顯得迂回曲折舍近求遠。

2017年這道高考題實際上是2005年高考全國卷文理第6題的變式，原考題及構(gòu)造函數(shù)法如下：

考題2（2005年高考全國卷文理第6題）

原考題需要比較的三個實數(shù)是以對數(shù)形式獨立呈現(xiàn)的，是三個常數(shù)的大小比較，解題易于切入，而2017年這道高考題是以指數(shù)連等式呈現(xiàn)的，需要比較大小的三個式子是變量，明顯增加了解題的思維難度。比較兩道高考題的表達形式和解法可知，高考題1源于高考題2是考題2的華麗變式。試題思維難度“青出于藍而勝于藍”，從題面上很難看出兩題的關(guān)系，只有通過化歸轉(zhuǎn)化才能發(fā)現(xiàn)兩題如出一轍，由此可見試題變式之巧妙達到一個較高的境界，真可謂是“軟草平莎過雨新,輕沙走馬路無塵”。

考題3（2021年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)第8題）