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解三角形|一組對邊角,能看懂的極致經(jīng)典。

 酒戒齋 2021-02-04

還記得前面寫的一篇"再讀高考|解三角形中的范圍問題",主要就2020年和2019年的高考題,介紹了三角形中兩種最常見的解三形問題.

①已知一組對邊角   ②已知一組鄰邊角

因為后臺有老師建議新增一些方法,便有了這次的推送.

其實真的,解題無止境,只要肯攀登.

第一問的解答,當(dāng)然是異常簡單了。

只是對于第二問的處理,其實有些孩子真的是沒有一個固定的思維過程的。

今天在前面“再讀高考”的基礎(chǔ)上對這種“已知一組對邊角”的問題,做進一步的思考和整理,以期達到展示一些常規(guī)思路,明確幾種優(yōu)化解法,并達到再見能夠果斷示范的作用。
1
幾何思路——距離最小找投影

其實,這種方法應(yīng)該是所有方法中最簡潔最炫酷的一種了。

尤其,是能想到這種構(gòu)造投影的老師,必定是在幾何上的感覺尤為的突出吧。

感謝網(wǎng)友@何研提供的思路,并將這種問題的處理一般化。

2
幾何思路——線段之和念橢圓

由兩邊之和聯(lián)想到橢圓定義,再經(jīng)圓的性質(zhì),將一般三角形轉(zhuǎn)化為等腰三角形,也的確是出人意料,并讓人驚喜的。

這里橢圓的過渡作用,真的是給人太多的驚艷!得有多豐富的解題經(jīng)驗,才能有此聯(lián)想呢。

只能說,線段之和念橢圓,就作為一條解題經(jīng)驗吧.

感謝@合肥新一代教育的楊益坤老師,一位通過公眾號偶然結(jié)識的,進取心極強的小老鄉(xiāng)。

3
幾何法——化折為直是常見

這種化折線為直線的思路,也是真的簡潔。

這種姿勢,估計有更多初中教學(xué)經(jīng)驗的老師,可能會更擅長的吧。

4
幾何法——圓來輔助更直觀

不僅化曲為直,而且根據(jù)正弦定理的特征,果斷構(gòu)造了外接圓。

這個圓,是不是飛來之筆,情理之中又在意料之外呢?

5
幾何思路——等角相聯(lián)作輔助

三角形的角平分線中線,是三角形中最重要的兩個特征了.

而鄰補角結(jié)合正弦定理或余弦定理的使用,可以極大地優(yōu)化計算過程.

所以,除了這種角平分線,也可以嘗試下從中線的角度分析.

6
幾何思路——中線向量齊上陣

在這個題中,鄰補角的余弦定理作用雖然也很不錯,但因為中線長需要用到向量的原因,導(dǎo)致解題的過程就復(fù)雜的多了.

但從解法的角度來看,也不失為一種比較好的切入方式.

7
代數(shù)思路——單側(cè)最值不等式

余弦定理中的平方和,目標(biāo)中的兩數(shù)和,而且只是求單側(cè)最值而已,數(shù)量關(guān)系上聯(lián)想到基本不等式,當(dāng)然是沒有問題的。

只是,只能求單側(cè)最值哦。

有最大無最小,有最小無最大的……

8
代數(shù)思路——萬能K法判別式

這是我最喜歡的、很多人稱之為“萬能K法”的.

其實,這種方法的最大優(yōu)勢就是,只要是二次式的結(jié)構(gòu),基本都是可以的.

其本質(zhì),是"整體替換"哦 .

9
代數(shù)思路——均值代換也常見

均值代換其實是基于等差數(shù)列中的等差中項的感覺.

在解方程時,我是會經(jīng)常使用它的.那種對稱的感覺,可以很方便的讓我們優(yōu)化計算.

等差中項,不就是因為對稱性,才讓人為之著迷么!

10
代數(shù)思路——齊次水消元最奇妙

常數(shù)替換,是基本不等式中最常見的方法了.

這里的常數(shù)替換,就給人一種耳目一新的感覺.

當(dāng)然,這里采用常數(shù)替換的思路,還是基于"多元要消元"的目的.

11
幾何+三角——面積瞻前也顧后

用面積作過渡,主要是因為條件和結(jié)論都和它的一定的關(guān)系.其實本質(zhì)還是基本不等式,只是提前構(gòu)造了一個最大定值而已.

不過這種有形有數(shù)的處理方法,倒真的有點賞心悅目的感覺.

12
代數(shù)+三角——平方和定三角換

三角換元,是我最常用也最喜歡的手段.

三角換元的出處其實有三處:

①平方關(guān)系,②有界性,③萬能公式.

所以,每每遇到平方和,平方差,甚至遇到變量有界的特征,都可以聯(lián)想到三角換元的.

13
三角思路——三角范圍多用角

其實,這種三角函數(shù)的角度,才是為更多學(xué)生所接受的.

只是三角變換的熟練程度,決定了他們能否順利達成目標(biāo).

可是,是不是經(jīng)常見到一些孩子,時常感嘆三角公式太多太復(fù)雜了呢?

所以,關(guān)于三角的思路,我也給出了三種常規(guī)的形式,以便大家比較鑒別.

14
三角思路——同名加減用化積

和差化積與和差化積,其實還是建議同學(xué)都能熟記的.

畢竟,教材的習(xí)題都要求我們能對其進行證明.

而且真的,有時用用它,真的可以給我們帶來很大方便.

就像是這個題,就是因為有了它,而極大地簡化了三角變換的過程.

初見的孩子,是不是覺得真的還是很爽!

15
三角思路——兩角和定見均值

這里的均值代換,其實相較于思路7的代換,優(yōu)越性是不是更加明顯.

其實三角變換,最大的特征便是對稱了.因此,每當(dāng)均值代換再遇上對稱,一定能碰撞出不一般的火花.

因為這,才會讓我在課堂上,一再的力薦.

16
三角+導(dǎo)數(shù)——走投無路找導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)與三角的聯(lián)姻,是近幾年導(dǎo)數(shù)題中最常見到的一種姿態(tài).

現(xiàn)在是不是在考試中就經(jīng)常能夠見到它呢?

真的是時候,該認(rèn)真研究它了.

我也期待自己,在有空的時候,能夠推一篇高質(zhì)量的"三角與導(dǎo)數(shù)".

END

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