悖論是一種認(rèn)識(shí)矛盾，它既包括邏輯矛盾、語(yǔ)義矛盾，也包括思想方法上的矛盾。 數(shù)學(xué)悖論作為悖論的一種，主要發(fā)生在數(shù)學(xué)研究中。按照悖論的廣義定義，所有數(shù)學(xué)規(guī)范中發(fā)生的無(wú)法解決的認(rèn)識(shí)矛盾，這種認(rèn)識(shí)矛盾可以在新的數(shù)學(xué)規(guī)范中得到解決。

           在古希臘時(shí)代，克里特島的哲學(xué)家埃庇米尼得斯（約公元前6世紀(jì)）發(fā)現(xiàn)的“說(shuō)謊者悖論”可以算作人們最早發(fā)現(xiàn)的悖論。公元前4世紀(jì)的歐布里德將其修改為“強(qiáng)化了的說(shuō)謊者悖論”。在此基礎(chǔ)上，人們構(gòu)造了一個(gè)與之等價(jià)的“永恒的說(shuō)謊者悖論”。埃利亞學(xué)派的代表人物芝諾（約490B.C.—430B.C.）提出的有關(guān)運(yùn)動(dòng)的四個(gè)悖論（二分法悖論、阿基里斯追龜悖論、飛矢不動(dòng)悖論與運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論）尤為著名，至今仍余波未息。

                在中國(guó)古代哲學(xué)中也有許多悖論思想，如戰(zhàn)國(guó)時(shí)期邏輯學(xué)家惠施（約370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、《莊子·天下篇》的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”；《韓非子》中記載的有關(guān)矛與盾的悖論思想等，這些悖論式的命題，表面上看起來(lái)很荒謬，實(shí)際上卻潛伏著某些辯證的思想內(nèi)容。

               在近代，著名的悖論有伽利略悖論、貝克萊悖論、康德的二律背反、集合論悖論等。在現(xiàn)代，則有光速悖論、雙生子佯謬、EPR悖論、整體性悖論等。這些悖論從邏輯上看來(lái)都是一些思維矛盾，從認(rèn)識(shí)論上看則是客觀矛盾在思維上的反映。盡管悖論的歷史如此悠久，但直到本世紀(jì)初，人們才真正開(kāi)始專(zhuān)門(mén)研究悖論的本質(zhì)。在此之前，悖論只能引起人們的驚恐與不安；此后，人們才逐漸認(rèn)識(shí)到悖論也有其積極作用。特別是本世紀(jì)60、70年代以來(lái)，出現(xiàn)了研究悖論的熱潮。

數(shù)學(xué)悖論作為悖論的一種，主要發(fā)生在數(shù)學(xué)研究中。按照悖論的廣義定義，所謂數(shù)學(xué)悖論，是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中既有數(shù)學(xué)規(guī)范中發(fā)生的無(wú)法解決的認(rèn)識(shí)矛盾，這種認(rèn)識(shí)矛盾可以在新的數(shù)學(xué)規(guī)范中得到解決。數(shù)學(xué)中有許多著名的悖論，除前面提到的伽利略悖論、貝克萊悖論外，還有康托爾最大基數(shù)悖論、布拉里——福蒂最大序數(shù)悖論、理查德悖論、基礎(chǔ)集合悖論、希帕索斯悖論等。數(shù)學(xué)史上的危機(jī)，指數(shù)學(xué)發(fā)展中危及整個(gè)理論體系的邏輯基礎(chǔ)的根本矛盾。這種根本性矛盾能夠暴露一定發(fā)展階段上數(shù)學(xué)體系邏輯基礎(chǔ)的局限性，促使人們克服這種局限性，從而促使數(shù)學(xué)的大發(fā)展。

跟無(wú)限相關(guān)的悖論

{1，2，3，4，5，…}是自然數(shù)集：

{1，4，9，16，25，…}是自然數(shù)平方的數(shù)集。

這兩個(gè)數(shù)集能夠很容易構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，那么，在每個(gè)集合中有一樣多的元素嗎？

伽利略悖論

我們都知道整體大于部分。由線(xiàn)段BC上的點(diǎn)往頂點(diǎn)A連線(xiàn)，每一條線(xiàn)都會(huì)與線(xiàn)段DE(D點(diǎn)在AB上,E點(diǎn)在AC上)相交，因此可得DE與BC一樣長(zhǎng)，與圖矛盾。為什么？

芝諾悖論——阿基里斯與烏龜

公元前5世紀(jì)，芝諾用他的無(wú)窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí)，引發(fā)出以下著名的悖論：他提出讓阿基里斯與烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑，并讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開(kāi)始。假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍。比賽開(kāi)始，當(dāng)阿基里斯跑了1000米時(shí)，烏龜仍前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí)，烏龜依然前于他10米……所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。

預(yù)料不到的考試的悖論

一位老師宣布說(shuō)，在下一星期的五天內(nèi)（星期一到星期五）的某一天將進(jìn)行一場(chǎng)考試，但他又告訴班上的同學(xué)：“你們無(wú)法知道是哪一天，只有到了考試那天的早上八點(diǎn)鐘才通知你們下午一點(diǎn)鐘考?！?/p>

你能說(shuō)出為什么這場(chǎng)考試無(wú)法進(jìn)行嗎？

電梯悖論

電梯悖論：在一幢摩天大樓里，有一架電梯是由電腦控制運(yùn)行的，它每層樓都停，且停留的時(shí)間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說(shuō)：“每當(dāng)我要下樓的時(shí)候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪！”李小姐對(duì)電梯也很不滿(mǎn)意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說(shuō)：“不論我什么時(shí)候要上樓，停下來(lái)的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了！”

這究竟是怎么回事？電梯明明在每層停留的時(shí)間都相同，可為什么會(huì)讓接近頂樓和底層的人等得不耐煩？

硬幣悖論

硬幣悖論：兩枚硬幣平放在一起，頂上的硬幣繞下方的硬幣轉(zhuǎn)動(dòng)半圈，結(jié)果硬幣中圖案的位置與開(kāi)始時(shí)一樣；然而，按常理，繞過(guò)圓周半圈的硬幣的圖案應(yīng)是朝下的才對(duì)！你能解釋為什么嗎？

谷堆悖論

谷堆悖論：顯然，1粒谷子不是堆；

如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；

如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；

……

如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；

……

如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此類(lèi)推，無(wú)論多少粒谷子落地都不能形成谷堆。這就是令整個(gè)古希臘震驚一時(shí)的谷堆悖論。

            從真實(shí)的前提出發(fā)，用可以接受的推理，但結(jié)論則是明顯錯(cuò)誤的。它說(shuō)明定義“堆”缺少明確的邊界。它不同于三段論式的多前提推理，在一個(gè)前提的連續(xù)積累中形成悖論。從沒(méi)有堆到有堆中間沒(méi)有一個(gè)明確的界限，解決它的辦法就是引進(jìn)一個(gè)模糊的“類(lèi)”。這是連鎖（Sorites）悖論中的一個(gè)例子，歸功于古希臘人Eubulides，后來(lái)的懷疑論者不承認(rèn)它是知識(shí)。“Soros”在希臘語(yǔ)里就是“堆”的意思。