撰文 | 馬英浩（北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心訪問學(xué)生）

指導(dǎo) | 袁新意（北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心教授）

BSD猜想，全稱為貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），B和SD分別是兩位數(shù)學(xué)家的首字母。這個(gè)猜想是千禧年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)的七個(gè)問題之一，是數(shù)論領(lǐng)域的著名問題。為了描述某一種特殊不定方程（橢圓曲線方程）有理解的集合大小，BSD猜想通過兩個(gè)截然不同的思路給出兩個(gè)不同的指標(biāo)——代數(shù)秩和解析秩，并猜測(cè)它們可能相等。雖然猜想表述艱深晦澀，佶屈聱牙，但卻和課本上曾出現(xiàn)的一些流傳幾千年的數(shù)論知識(shí)一脈相承，是進(jìn)入現(xiàn)代社會(huì)以來，真理的追求者對(duì)古老問題的進(jìn)一步探索。

綿延千年的古老問題

數(shù)學(xué)是一個(gè)歷史悠久的學(xué)科，而數(shù)論是數(shù)學(xué)的一個(gè)古老分支，至少有兩千多年的歷史。在這兩千多年中，素?cái)?shù)的分布問題和有理系數(shù)不定方程的有理解問題也一直困擾著人們。早在公元前3世紀(jì)，歐幾里得（Euclid）就用反證法證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，并尋求過勾股定理的通解。五六百年后，大約相當(dāng)于中國(guó)的三國(guó)時(shí)期，丟番圖（Diophantus）集中研究了有理系數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成的不定方程，討論了它們的有理數(shù)解。他所著的《算術(shù)》是人類第一本系統(tǒng)闡述代數(shù)方程的著作，討論了很多相關(guān)問題，因而不定方程也被稱為丟番圖方程（Diophantine equation）。在此后的近兩千年，人們使用了各種方法試圖解決這些問題，得到了一些效果，但也有很多局限性。近代以來，數(shù)學(xué)家們逐漸提出了更加復(fù)雜而深刻的辦法，借用了很多其他數(shù)學(xué)分支的工具，一定程度上推進(jìn)了有關(guān)問題的理解， 但還有很多問題懸而未決。BSD猜想就是一個(gè)不定方程問題的例子。

丟番圖方程的例子有很多，小學(xué)奧數(shù)就有一次不定方程的例子，而二次不定方程的佩爾（Pell）方程理論就已經(jīng)是高中競(jìng)賽的知識(shí)了。事實(shí)上，英國(guó)數(shù)學(xué)家John Pell和這個(gè)理論沒有多大關(guān)系, 該問題由古印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta）提出，之后在費(fèi)馬（Fermat）再次提出后，直到18世紀(jì)才被拉格朗日（Lagrange）最終解決。稱其為Pell方程是因?yàn)闅W拉（Euler）的誤記。

雖然人們很快找到了一次和二次不定方程的通解，但更高次的不定方程人們幾乎沒有處理的有效手段。其中三次不定方程的有理解問題介于“可解”和“不可解”之間，因而一直廣受數(shù)論學(xué)家的關(guān)注。

橢圓曲線——一個(gè)三次不定方程

橢圓曲線起初并非是數(shù)論學(xué)家研究的對(duì)象。19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們開始廣泛研究各類特殊函數(shù)理論，其中就包括橢圓曲線。盡管最近幾十年除了一些斯拉夫數(shù)學(xué)家，特殊函數(shù)理論鮮有人問津，以致于數(shù)學(xué)系相關(guān)的課程都很少，但在物理學(xué)或其他很多領(lǐng)域特殊函數(shù)還有很深遠(yuǎn)的影響。

最初人們研究橢圓周長(zhǎng)時(shí)，通過一定的積分變換技巧可以把橢圓弧長(zhǎng)公式轉(zhuǎn)換成下述函數(shù)：

出于一些圓錐曲線的巧妙性質(zhì)，該積分無法通過基本初等函數(shù)表示，但與魏爾斯特拉斯（Weierstrass）橢圓函數(shù)有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中分母的函數(shù)項(xiàng)平方即為形如 y²=x³+ax+b 的方程，這被稱為橢圓曲線方程。

最初人們研究的是定義在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的橢圓曲線方程，特別是復(fù)變函數(shù)帶來的幾何直觀。但在二次不定方程已被解決的年代，作為有著良好性質(zhì)的三次不定方程，橢圓函數(shù)似乎注定對(duì)數(shù)論產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

數(shù)論中歷史悠久的“同余數(shù)”問題（congruent number）就可以歸結(jié)為對(duì)橢圓曲線的研究。至少在公元10世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家就開始思考一個(gè)數(shù)能否作為某個(gè)三條邊均為有理數(shù)的直角三角形的面積，并試圖給出判別方法。近代橢圓曲線理論出現(xiàn)以后，這個(gè)孤立的古老的問題變成了一個(gè)更深刻的現(xiàn)代理論的例子，盡管至今仍然懸而未決。具體而言，假設(shè)n是我們要求的同余數(shù)，它可以寫成一個(gè)直角三角形的面積。設(shè)這個(gè)三角形的直角邊為a、b，斜邊為c，我們就可以得到如下方程組：

如果令x=n(a+c)/b，且 y=(2n² (a+c))/b² ，則可以將原方程化為如下的二元三次不定方程，也就是橢圓曲線的形式：

在關(guān)于橢圓曲線的BSD猜想成立的假設(shè)下，圖內(nèi)爾（Tunnell）定理證明了一切除以8余5、6、7的數(shù)都是同余數(shù)，并給出了正整數(shù)是同余數(shù)的充要條件。

雖然很多歷史悠久的數(shù)論問題和更高次的數(shù)論問題，都可以轉(zhuǎn)化為橢圓曲線這個(gè)三次不定方程的問題，但讓它如此吸引人的原因恐怕在于解集的一個(gè)深刻結(jié)構(gòu)。

解集的表示

寫出不定方程的所有有理解不是一件容易的事。對(duì)于一次和二次方程，一個(gè)可行的做法是使用分析的語言將解集寫成一個(gè)離散參數(shù)空間，并讓參數(shù)取所有的整數(shù)。然而三次方程沒有那么多解，因而解集常常并不構(gòu)成某個(gè)參數(shù)空間。一個(gè)可行的做法是給出一些“原始解”，通過一定的運(yùn)算方式，可以從“原始解”生成集合中所有的元素。

Fermat或許是第一個(gè)用幾何作圖尋找新解的人。

對(duì)于上述的整系數(shù)的橢圓曲線方程，Fermat指出，在已知原方程一些解的情況下，可以通過切割線這種作圖方式，生成該方程新的有理解：兩個(gè)有理坐標(biāo)的點(diǎn)確定的直線方程系數(shù)是有理數(shù)，跟有理系數(shù)多項(xiàng)式方程聯(lián)立以后，經(jīng)過因式分解可以得到第三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，顯然第三個(gè)點(diǎn)也是有理點(diǎn)。之后Weierstrass為這樣的解集定義了一種運(yùn)算——對(duì)于P和Q，兩點(diǎn)所在直線交圖像于第三點(diǎn)R，R關(guān)于x軸的反射R’則被定義成P+Q。之后或許是丹麥數(shù)學(xué)家尤爾（Juel）第一個(gè)發(fā)現(xiàn)，如果把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為集合的“單位元”并把反射的元素定義為“逆元”，那么這樣的運(yùn)算對(duì)于解集封閉，還顯然具有交換律，并且竟然具有結(jié)合律。在這個(gè)意義下，對(duì)抽象代數(shù)稍有了解的讀者不難發(fā)現(xiàn)，橢圓曲線的實(shí)數(shù)解構(gòu)成一個(gè)群，而有理解竟然是這個(gè)群的子群！而這實(shí)在是橢圓曲線有意思的根本。

橢圓曲線解集的加法結(jié)構(gòu)

龐加萊（Poincaré）在1901年的論文中系統(tǒng)總結(jié)了前人關(guān)于橢圓曲線有理點(diǎn)的理論，并指出對(duì)于每個(gè)橢圓曲線，只需要得到有限個(gè)有理解，再通過切線、割線操作序列的無窮組合，就可以完全表示出有理解的解集。也就是說，這個(gè)解集在之前定義的“切割線”運(yùn)算之下是一個(gè)有限生成交換群。事實(shí)上，像生成全體多項(xiàng)式這樣司空見慣的對(duì)象，我們都需要選取所有的x^k，用無窮個(gè)基底才能生成，但Poincaré認(rèn)為，生成一個(gè)橢圓曲線方程的所有有理解，用有限個(gè)解就夠了。這個(gè)猜想在1922年才被英國(guó)數(shù)學(xué)家莫德爾（Mordell）證明，此后這有限個(gè)能生成全部解的“原始解”（生成元）有怎樣的性質(zhì)，或者說究竟多少個(gè)解才能生成所有的解，就成了一個(gè)很重要的問題。

有限生成交換群的結(jié)構(gòu)

有些“原始解”在和自己不斷操作以后會(huì)回到自己，就像除以3的余數(shù)是集合{0,1,2}，1+1+1在除以三的意義下等于0；而有的“原始解”不斷操作則永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)，就像整數(shù)1不論加多少次都回不到自身。抽象代數(shù)告訴我們，一個(gè)橢圓曲線方程有理解解集作為一個(gè)有限生成交換群，可以被視為一個(gè)有限群（第一類解）直和Z的某個(gè)方次（第二類解）。而這個(gè)方次r被稱為該橢圓曲線的代數(shù)秩，r越大生成全部解所需的“原始解”越多。知道了r的大小以后，構(gòu)造橢圓曲線方程的所有有理解就簡(jiǎn)單很多。

有趣的數(shù)值現(xiàn)象

對(duì)于一個(gè)難以探求整體解的不定方程問題，我們常常會(huì)考慮它的某種“局部性質(zhì)”：如果原方程的有理解被視為“整體解”，那么方程在模（mod）素?cái)?shù)p意義下的解就可視為“局部解”。在模素?cái)?shù)p的意義下，橢圓曲線方程的解（x，y）至多有p²種可能，記模素?cái)?shù)p的局部解個(gè)數(shù)為N_p。數(shù)論學(xué)家們期待，由于“局部整體原理”（local--global principle），局部解的數(shù)量跟整體解的數(shù)量存在某種的對(duì)應(yīng)聯(lián)系。事實(shí)上，整體解顯然是局部解。

在以往，這樣的計(jì)算十分困難，幸運(yùn)的是，劍橋大學(xué)的EDSAC在1949年正式投入使用，這是世界上第一臺(tái)實(shí)際運(yùn)行的存儲(chǔ)程序式電子計(jì)算機(jī)。更加幸運(yùn)的是，故事的一位主角，數(shù)論學(xué)家斯維訥通-戴爾（Swinnerton-Dyer）知道如何使用它。

面對(duì)這樣一個(gè)龐然大物，在20世紀(jì)50年代末期，他和另一位主角，數(shù)論學(xué)家貝赫（Birch）著手準(zhǔn)備計(jì)算一系列特殊的（帶復(fù)乘的）橢圓曲線方程的代數(shù)秩，和每個(gè)方程對(duì)全部小于1000的素?cái)?shù)的解的數(shù)量N_p。

按照哈塞（Hasse）定理，橢圓曲線在模每個(gè)素?cái)?shù)p的局部解個(gè)數(shù)N_p跟p相差不大，因此他們?cè)谟?jì)算時(shí)考慮N_p除以p和代數(shù)秩r的關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)了如下的公式：

BSD猜想的原始版本，其中C為大于零的常數(shù)

式子左邊的累乘衡量了方程在模素?cái)?shù)p意義下的局部解數(shù)量，等式右邊則是關(guān)于整體解的解集大小的衡量指標(biāo)——代數(shù)秩r的函數(shù)。計(jì)算結(jié)果簡(jiǎn)潔地展示了他們的關(guān)系，這也是BSD猜想的“原始版本”。時(shí)至今日，計(jì)算機(jī)輔助證明能夠猜出基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中這樣精妙的公式的例子也很少見，因此，在計(jì)算機(jī)剛剛誕生的年代，這樣出人意料而天馬行空的公式最初引起了很多學(xué)者的質(zhì)疑，其中甚至包括另一位主角Birch的博士生導(dǎo)師卡塞爾（Cassels），但隨著越來越多的數(shù)值結(jié)果和其他證據(jù)的出現(xiàn)，數(shù)論學(xué)家們不得不接受這樣的猜想。

然而，這個(gè)形式的美感或許還不夠強(qiáng)，盡管很可能是正確的。有的橢圓曲線對(duì)應(yīng)的序列收斂比較慢，或收斂之前有些躍遷，這些情形之下計(jì)算極限就不能很好的反應(yīng)這個(gè)性質(zhì)。在數(shù)論學(xué)家志村五郎（Shimura）的提議和同事達(dá)文波特（Davenport）的幫助下，Birch得以用L函數(shù)重新書寫這個(gè)猜想。L函數(shù)在當(dāng)時(shí)還沒有引起數(shù)論學(xué)家的高度重視，但在之后現(xiàn)代數(shù)論的發(fā)展中則受到了廣泛關(guān)注。

BSD猜想的正式版本

猜想提出者之一，英國(guó)數(shù)論學(xué)家Swinnerton-Dyer曾調(diào)侃，一開始沒想到用L函數(shù)表示原始版本，是由于法國(guó)數(shù)學(xué)家韋伊（Weil）把L函數(shù)在很早就推向了數(shù)學(xué)的中心位置，導(dǎo)致很多數(shù)學(xué)家反而“唯恐避之不及”。但在同事布扎爾德（Buzzard）看來，對(duì)后世影響深遠(yuǎn)的朗蘭茲綱領(lǐng)（1967，Langlands program）當(dāng)時(shí)尚未提出，L函數(shù)在有限維伽羅瓦（Galois）表示和自守表示等對(duì)象中表現(xiàn)出的深刻性并沒有得到足夠的揭示，原始版本沒有使用L函數(shù)是很正常的。

橢圓曲線C對(duì)應(yīng)的L函數(shù)，a_p表示方程在模素?cái)?shù)p意義下的解的個(gè)數(shù)，Δ是判別式

著名的黎曼猜想中的zeta函數(shù)就是L函數(shù)的一個(gè)例子。而對(duì)于任意的橢圓曲線C我們都可以定義一個(gè)L函數(shù)L(C,s)，作為一個(gè)關(guān)于p^(-s)的多項(xiàng)式的連乘——乘積中丟掉有限項(xiàng)可以被判別式整除的素?cái)?shù)對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式。取對(duì)數(shù)后容易證明，乘積在s的實(shí)部＞1.5時(shí)絕對(duì)收斂。鑒于每項(xiàng)乘積都是多項(xiàng)式，是一種解析函數(shù)，累乘的結(jié)果是某個(gè)右半平面上的解析函數(shù)。BSD猜想的正式版本則是把原始版本關(guān)于“局部解”一側(cè)的極限式轉(zhuǎn)化為延拓到s=1處的冪級(jí)數(shù)展開，并類似地建立跟“整體解”解集大小的關(guān)聯(lián)。

英國(guó)數(shù)論學(xué)家Birch

（圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）

Shimura和Davenport曾向我們的另一位主角Birch指出，L函數(shù)在s=1處的冪級(jí)數(shù)展開可以很好地表示他所計(jì)算的橢圓曲線（即帶復(fù)乘的橢圓曲線）的信息。然而當(dāng)時(shí)大家對(duì)L函數(shù)知之甚少——Hasse曾在1958年猜想，L函數(shù)可以解析延拓到整個(gè)復(fù)平面（復(fù)變函數(shù)的知識(shí)告訴我們這樣的解析延拓如果存在則唯一），但在BSD猜想誕生的年代，人們尚沒有證明這一點(diǎn)。L函數(shù)一旦不能解析延拓，s=1處的零點(diǎn)重?cái)?shù)就沒有定義，然而大膽的Birch卻敢于這樣猜測(cè)，并決心用L函數(shù)重寫BSD猜想。直到三十多年后人們加深了對(duì)L函數(shù)的了解，BSD猜想的陳述才具有意義。上世紀(jì)90年代，懷爾斯（Wiles）及其學(xué)生泰勒（Taylor）證明了谷山-志村-韋伊猜想（Taniyama--Shimura--Weil conjecture），即橢圓曲線與數(shù)論中的重要對(duì)象“模形式”一一對(duì)應(yīng)，這使得人們確認(rèn)L函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上的解析延拓，并將L函數(shù)寫成某個(gè)關(guān)于s=1中心對(duì)稱的函數(shù)方程的形式。當(dāng)然人們熟知Wiles的這項(xiàng)工作通常是因?yàn)?，這順便證明了費(fèi)馬大定理【Doge】。

BSD猜想的正式版本，E表示橢圓曲線

美國(guó)數(shù)論學(xué)家戈?duì)柕路茽柕拢?span>Goldfield）通過類似素?cái)?shù)定理的估計(jì)手法，證明了BSD猜想的“原始版本”中極限所趨近的真實(shí)值，不論是否等于代數(shù)秩，都一定是橢圓曲線對(duì)應(yīng)的L函數(shù)在s=1處重根的個(gè)數(shù)，也即L函數(shù)在s=1處做冪級(jí)數(shù)展開后，第一個(gè)系數(shù)非零項(xiàng)的（s-1）的冪次。這個(gè)數(shù)被稱為“解析秩”，而BSD猜想的正式版本就是“解析秩等于代數(shù)秩”。事實(shí)上原始版本的結(jié)論更加深刻，因?yàn)樗苏桨姹镜慕Y(jié)論外，還蘊(yùn)含了L函數(shù)的黎曼假設(shè)——即L函數(shù)解析延拓后的零點(diǎn)實(shí)部都等于對(duì)稱中心。

到此，BSD猜想的內(nèi)容就全部露出水面。橢圓曲線（一種三次不定方程）整體解集的代數(shù)秩（表征有限生成交換群的生成元多少）和解析秩（用L函數(shù)在對(duì)稱中心的重根數(shù)量表征模每個(gè)素?cái)?shù)p的局部解N_p的信息）相等。對(duì)一個(gè)古老的不定方程有理解問題的新探索，讓人發(fā)現(xiàn)了各種奇妙的數(shù)學(xué)對(duì)象，衍生出一系列數(shù)學(xué)工具，并似乎有某種內(nèi)在的聯(lián)系，這實(shí)在是讓人嘆為觀止！

相關(guān)進(jìn)展

當(dāng)然BSD猜想的故事并沒有就此結(jié)束，數(shù)論的故事更沒有。

第一個(gè)突破源于1977年，著名的數(shù)論學(xué)家科茲（Coates）和他的得意門生Wiles證明了BSD猜想對(duì)帶復(fù)乘的的橢圓曲線而言，解析秩為0時(shí)代數(shù)秩也為0。

此后格羅斯（Gross）和扎吉爾（Zagier）在1986及科里瓦金（Kolyvagin）在1989年的工作共同證明了，BSD猜想在解析秩小于等于1的情況下成立。此前Birch總結(jié)德國(guó)電子工程師兼業(yè)余數(shù)學(xué)家黑格納（Heegner）生前工作時(shí)，給出了橢圓曲線方程的一個(gè)解，但一直不知道如果作為解集的有限個(gè)生成元，是否貢獻(xiàn)了代數(shù)秩。而Gross和Zagier給出了判定解是否是無撓（貢獻(xiàn)了代數(shù)秩）的Gross—Zagier公式。公式將L函數(shù)在s=1處的導(dǎo)數(shù)跟衡量解復(fù)雜性的指標(biāo)“高度”相結(jié)合，從而證明了BSD猜想在解析秩小于等于1時(shí)成立。

然而問題似乎遇到了瓶頸，盡管過去三十年人們?cè)谕茝VGross—Zagier公式等方面取得了很多突破，然而對(duì)如何證明秩等于2這個(gè)猜想的特殊情況大家都還一籌莫展。

當(dāng)然，上世紀(jì)90年代Wiles證明費(fèi)馬大定理時(shí)順便證明了L函數(shù)一定存在解析延拓函數(shù)方程，從而證明了BSD猜想的正式版本對(duì)任何橢圓曲線方程都有意義，這是了不起的突破?；蛟S也正是如此，在克雷研究所評(píng)選千禧年數(shù)學(xué)問題時(shí)，人們將這個(gè)新時(shí)代尋找古老不定方程有理解的新探索確定為七個(gè)百萬美金猜想之一。

英國(guó)數(shù)學(xué)家Wiles

（圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）

雖然有理數(shù)域上的BSD猜想再無重大突破，將其類比到函數(shù)域卻取得了一些進(jìn)展。有理數(shù)集對(duì)加減乘除四則運(yùn)算封閉，因此構(gòu)成一個(gè)域，而函數(shù)域是他的一個(gè)類比：給定某個(gè)素?cái)?shù)p，一切整數(shù)除以p的余數(shù)只有p種可能，結(jié)合一點(diǎn)初等數(shù)論的知識(shí)不難驗(yàn)證這是一個(gè)有限域，這個(gè)域上的多項(xiàng)式F_p [t]對(duì)加減乘三則運(yùn)算封閉，從而構(gòu)成了一個(gè)環(huán)，類比整數(shù)的唯一分解定理，有多項(xiàng)式的唯一分解定理。類似有理數(shù)，如果允許多項(xiàng)式環(huán)中的元素做除法，構(gòu)成的分式函數(shù)就會(huì)形成一個(gè)函數(shù)域F_p (t)。

有理數(shù)域上多項(xiàng)式方程有理解問題通?？梢灶惐鹊胶瘮?shù)域上方程求解的問題。例如費(fèi)馬大定理，可以類比到關(guān)于多項(xiàng)式x(t)，y(t)和z(t)的方程xⁿ (t)+yⁿ (t)=zⁿ (t)只有平凡解。探討一個(gè)問題會(huì)對(duì)另一個(gè)域上的對(duì)應(yīng)問題產(chǎn)生啟發(fā)，因而人們也會(huì)研究函數(shù)域上的對(duì)應(yīng)問題，來尋找解決數(shù)論問題的靈感。事實(shí)上，函數(shù)域雖然放棄了對(duì)有理方程的分析手段，但是可以對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)得到新的方程，還可以采用代數(shù)幾何的研究方法，因此常常更加簡(jiǎn)單。例如黎曼猜想和數(shù)論中著名的ABC猜想的函數(shù)域上的版本都已經(jīng)被證明。當(dāng)然BSD猜想的函數(shù)域版本都沒有徹底解決也說明這個(gè)猜想的難度。

BSD猜想的函數(shù)域版本是說，考慮橢圓曲線方程y² (t)=x³ (t)+a(t)x(t)+b(t)，其中a、b、x、y是函數(shù)域F_p (t)中的元素。也可以證明解構(gòu)成了有限生成交換群，并定義解集的代數(shù)秩r。同樣的也可以考慮所有的不可約首一多項(xiàng)式p(t)對(duì)應(yīng)的局部解并類比定義L函數(shù)。這樣的L函數(shù)是在s=1處零點(diǎn)重?cái)?shù)仍然被定義為解析秩。美國(guó)數(shù)學(xué)家泰特（Tate）首先考慮了函數(shù)域上的BSD猜想，并指出對(duì)于函數(shù)域上的猜想版本，代數(shù)秩小于等于解析秩，同時(shí)兩者相等當(dāng)且僅當(dāng)Tate--Shafarevich群是有限群。

跋

雖然過去幾十年我們有了不同尋常的進(jìn)展，數(shù)論學(xué)家們對(duì)尋找一般的代數(shù)曲線方程的有理解依然沒什么好的辦法。以致于Wiles在給BSD猜想的介紹中寫道“希望BSD猜想的證明能夠提供對(duì)一般性問題的洞察見解”。

盡管人們對(duì)BSD猜想的證明寄予厚望，但這也只是數(shù)論的一小步，在自然面前，還有很多未知等待人類探索。即使BSD猜想被解決，在此基礎(chǔ)上通過解析秩來計(jì)算代數(shù)秩也是很不容易的一件事；而且得到代數(shù)秩以后尋找足夠數(shù)量的生成元也并不輕松。至于解集中看似簡(jiǎn)單的有限群（不貢獻(xiàn)代數(shù)秩）的部分，雖然被美國(guó)數(shù)學(xué)家梅熱（Mazur）解決，但是在更一般的阿貝爾簇（橢圓曲線的高維推廣）上的“有理解”是否有類似性質(zhì)的“撓（torsion）猜想”幾十年來依然困擾著人們。

當(dāng)然，對(duì)于更復(fù)雜高次的不定方程，人們并非毫無建樹。Mordell曾猜想由于次數(shù)過高帶來很強(qiáng)的約束，很多高次不定方程只有至多有限個(gè)解。這個(gè)猜想困擾人類六十多年后，在1983年由一位青年才俊——時(shí)年29歲的德國(guó)數(shù)學(xué)家法爾廷斯（Faltings）證明，他隨后因此獲得菲爾茲獎(jiǎng)。而對(duì)于其他高次不定方程，有時(shí)可以嘗試從中尋找橢圓曲線，并在橢圓曲線上尋找不平凡的解。例如26歲就當(dāng)上哈佛大學(xué)教授的埃爾奇斯（Elkies）給出了如下式子：

從而反駁了Euler在1769年關(guān)于該方程只有平凡有理解的猜想。甚至由于這個(gè)解貢獻(xiàn)了代數(shù)秩，原方程有無窮多解。

在偉大的真理面前，人類似乎已經(jīng)努力地發(fā)展出各種深刻而晦澀的工具，取得了非凡的進(jìn)展。但即便BSD猜想得以證明，人類還有很長(zhǎng)的路要走。

屈原曾經(jīng)說過，“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索”。正是有一代又一代的數(shù)學(xué)家前仆后繼，思考艱深的問題，一點(diǎn)點(diǎn)探求真理，人類才能逐漸了解到隱藏在整數(shù)背后的秘密，走向未知的遠(yuǎn)方。時(shí)至今日，Swinnerton-Dyer已然仙逝，Birch也將近九旬，就連Wiles和Faltings都年近古稀。隨著時(shí)間的流逝，老一輩數(shù)學(xué)家們的傳奇將會(huì)暫時(shí)告一段落，而新的傳奇，將由各位年輕人來書寫。