這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)加法結(jié)合律等的過(guò)程中，就經(jīng)歷了由具體到一般的抽象、概括過(guò)程，不僅可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、定理，而且能夠初步感受歸納的思想方法，使思維水平得到提升。
2.演繹。
演繹與歸納相反，是從普遍性結(jié)論或一般性的前提推出個(gè)別或特殊的結(jié)論。在研究個(gè)別問(wèn)題時(shí)，以一般性的邏輯假設(shè)為基礎(chǔ)，推出特定結(jié)論，這種從一般到特殊的推理被稱為演繹。
在推理的形式合乎邏輯的條件下，應(yīng)用演繹推理從真實(shí)的前提一定能推出真實(shí)的結(jié)論。例如，知道了“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論，我們讓學(xué)生據(jù)此推出或求出直角三角形兩個(gè)銳角的和是90°，推出或求出等腰直角三角形的兩個(gè)銳角都是45°。再如，通過(guò)歸納得到乘法分配律（a+b）×c= a×c+b×c以后，我們要求學(xué)生應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行72×（30+6）、32×102、46×12+54×12、45×99+45等的簡(jiǎn)便計(jì)算，在較多的計(jì)算活動(dòng)中進(jìn)一步體會(huì)乘法分配律的本質(zhì)，提高靈活應(yīng)用乘法分配律的能力。
學(xué)生像這樣根據(jù)已經(jīng)獲得的定義、定律、公式等，去解決一個(gè)個(gè)具體的問(wèn)題，通過(guò)這樣一些由一般向特殊的演繹使得抽象的數(shù)學(xué)概念、規(guī)律和原理具體化，從而促進(jìn)知識(shí)的數(shù)學(xué)理解和掌握，發(fā)展推理能力和思維能力。
3.類比。
類比是由特殊到特殊的推理，具有假設(shè)、猜想的成分。同歸納一樣，類比是常用的一種合情推理。類比是立足在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)兩個(gè)（或兩類）及以上對(duì)象之間某些相同或相似的性質(zhì)，由已經(jīng)獲得的知識(shí)引出新的猜測(cè)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上的相同或相似。
運(yùn)用類比的關(guān)鍵是尋找一個(gè)合適的類比對(duì)象（已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)或已有的方法經(jīng)驗(yàn)），需要溝通不同維度知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，它多發(fā)生在像整數(shù)的運(yùn)算規(guī)律推廣到分?jǐn)?shù)這樣由低維度向高維度知識(shí)的提升之處。例如，在教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時(shí)，我們先通過(guò)測(cè)量幾瓶液體的質(zhì)量和體積的記錄，求出這幾瓶液體質(zhì)量和體積的比的比值，并把比值相等的比寫成等式。再引導(dǎo)學(xué)生觀察這些等式，聯(lián)系分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)想一想，比會(huì)有什么性質(zhì)。學(xué)生大膽猜想，將比的前項(xiàng)、后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），看看比值有沒有變化，進(jìn)行驗(yàn)證。
學(xué)生通過(guò)類比的方式，將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)遷移、推廣到比的基本性質(zhì)，不僅使所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)容易理解，更能感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的連續(xù)性。
4.分類。
分類是以比較為基礎(chǔ)，按照數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同的種類。
對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的分類，必須科學(xué)、統(tǒng)一，每一次劃分時(shí)，分類的標(biāo)準(zhǔn)只能是一個(gè)，不能交叉地使用幾個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)，要使分類既不重復(fù)也不遺漏。例如，根據(jù)角的大小，三角形可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三類。再如，非零自然數(shù)，以約數(shù)的個(gè)數(shù)可以分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1三類，以是否是2的倍數(shù)則可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。
通過(guò)分類，學(xué)生可以體會(huì)和理解不同的分類標(biāo)準(zhǔn)會(huì)有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，使所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)條理化。
5.轉(zhuǎn)化。
數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)整體，它的各部分之間相互聯(lián)系，有時(shí)也可以相互轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化可以將數(shù)的一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，一種運(yùn)算轉(zhuǎn)化為另一種運(yùn)算，一個(gè)關(guān)系轉(zhuǎn)化為另一個(gè)關(guān)系，一個(gè)量轉(zhuǎn)化為另一個(gè)量，一種圖形轉(zhuǎn)化為另一種或幾種圖形，使一種對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N研究對(duì)象。
為了有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和研究，我們注意將新知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，將較為復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，例如把小數(shù)乘法的計(jì)算轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法的計(jì)算，把分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算，把不規(guī)則圖形的面積計(jì)算轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積計(jì)算。實(shí)際上，除了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式之外，其他平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，我們都是通過(guò)變換原來(lái)的平面圖形，幫助學(xué)生把對(duì)“新”圖形的認(rèn)知轉(zhuǎn)化成對(duì)“舊”圖形的改造與提升，在“新”“舊”知識(shí)的聯(lián)系中尋找到解決“新”知的方法。研究平行四邊形面積的計(jì)算時(shí)，我們把一個(gè)平行四邊形“剪”“拼”轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算面積；研究三角形、梯形面積的計(jì)算時(shí)，我們把兩個(gè)相同的三角形、兩個(gè)相同的梯形分別拼成一個(gè)平行四邊形來(lái)計(jì)算面積；研究圓面積的計(jì)算時(shí)，我們把一個(gè)圓平均分成16、32、64份，剪開后拼成一個(gè)近似的平行四邊形，并由此想象無(wú)限細(xì)分下去，拼成的圖形就接近于長(zhǎng)方形，可以通過(guò)拼成的長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算面積。這樣，就將原來(lái)的圖形通過(guò)剪、拼等途徑加以“變形”，化難為易。
不僅如此，我們還專設(shè)一個(gè)單元教學(xué)用轉(zhuǎn)化的策略解決實(shí)際問(wèn)題，凸顯轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位，幫助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想方法的價(jià)值。
6.符號(hào)化。
符號(hào)是人類文明發(fā)展的重要標(biāo)志之一，而數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言就是文字語(yǔ)言、圖像語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，其中最具數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的是符號(hào)語(yǔ)言。實(shí)現(xiàn)符號(hào)化，需要經(jīng)歷“具體—表象—抽象—符號(hào)化”的過(guò)程。
把客觀現(xiàn)實(shí)中存在的事物和現(xiàn)象以及它們之間的相互關(guān)系抽象概括為數(shù)學(xué)符號(hào)和公式，不僅要把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來(lái)，而且要充分把握每個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)所蘊(yùn)涵的豐富內(nèi)涵和實(shí)際意義，這對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，并不是一件容易的事，必須逐步地提高他們的抽象概括水平。我們從一年級(jí)就開始用“ □ ”或“（ ）”代替具體的數(shù)乃至變量，讓學(xué)生在2 +（ ）= 10、8 +□=15、□>42>□等算式中填上合適的數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊的事物，通過(guò)觀察、操作等活動(dòng)，初步感受符號(hào)的意義，逐步體會(huì)用符號(hào)表示數(shù)的作用。
在四年級(jí)教學(xué)平面圖形的面積公式時(shí)，我們不僅引導(dǎo)學(xué)生歸納出面積計(jì)算公式，還用字母表示，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用字母表示計(jì)算公式的簡(jiǎn)便和優(yōu)越。教學(xué)加法和乘法運(yùn)算律時(shí)，鑒于學(xué)生對(duì)符號(hào)有了比較充分的認(rèn)識(shí)，就不再用純文字的形式而直接用含有字母的式子表示這些定律，不僅使得規(guī)律的表達(dá)更加準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、形象，更便于學(xué)生掌握，而且也使學(xué)生感受到用字母表示定律的意義。
到了五年級(jí)，學(xué)生開始正式學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，從研究一個(gè)具體特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，初學(xué)時(shí)會(huì)感到困難，又引導(dǎo)他們經(jīng)歷用字母表示數(shù)的抽象與概括過(guò)程，初步學(xué)習(xí)并理解用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，體會(huì)符號(hào)化的簡(jiǎn)潔與準(zhǔn)確，不僅為列方程解決實(shí)際問(wèn)題做好準(zhǔn)備，更為進(jìn)入中學(xué)后代數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。
7.數(shù)形結(jié)合。
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，借助“形”的直觀來(lái)表達(dá)數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用“數(shù)”來(lái)刻畫、研究形，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)考慮，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。
根據(jù)知識(shí)的特點(diǎn)和小學(xué)生的思維發(fā)展水平，我們主要通過(guò)線段圖、長(zhǎng)方形面積圖、樹形圖等，把一定的數(shù)量關(guān)系形象直觀地表達(dá)出來(lái)，幫助學(xué)生從圖形的直觀特征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以形助數(shù)來(lái)化隱為顯、化難為易。例如，“一條褲子28元，上衣的價(jià)錢是褲子的3倍”，求買一套衣服要多少元，題里只有兩個(gè)已知條件，其中一個(gè)條件“28元”在解題時(shí)要連續(xù)使用兩次，三年級(jí)學(xué)生理解時(shí)有一定的困難。我們引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖幫助理解題意，研究數(shù)量之間的關(guān)系。根據(jù)這幾種畫法，很容易想到求這一套衣服的價(jià)錢只要把褲子的價(jià)錢加上上衣的價(jià)錢，上衣的價(jià)錢（28元的3倍）還不知道，需要先算出來(lái)。特別是根據(jù)后兩種畫法，學(xué)生還會(huì)想到這一套衣服的價(jià)錢就是上衣的價(jià)錢（28元）的（1＋3）倍，探索出解決這一實(shí)際問(wèn)題的不同方法。
在幫助學(xué)生從圖形的直觀特征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，以形助數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上，我們開始初步滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，主要是通過(guò)認(rèn)識(shí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的教學(xué)，讓學(xué)生在數(shù)軸上填數(shù)，在數(shù)軸上找出相對(duì)應(yīng)的數(shù)，幫助他們?cè)跀?shù)與形的這一次重要碰撞中更好地體會(huì)數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，初步體會(huì)數(shù)與形的結(jié)合；通過(guò)用數(shù)對(duì)表示位置的教學(xué)，讓學(xué)生在平面圖上用數(shù)對(duì)表示物體的位置，說(shuō)出平面圖上數(shù)對(duì)所在的點(diǎn)表示的物體，幫助他們體會(huì)平面上的點(diǎn)與數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；通過(guò)正比例圖像的教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)正比例關(guān)系的圖像是一條直線，同時(shí)，利用圖像根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值，既將抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系直觀化和形象化，又借助形象的圖像來(lái)理解抽象的正比例關(guān)系問(wèn)題，努力使學(xué)生抽象思維和形象思維的發(fā)展結(jié)合起來(lái)。
在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，我們還適時(shí)蘊(yùn)涵了函數(shù)、集合、統(tǒng)計(jì)等現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想。有關(guān)這方面的討論較多，限于篇幅，不再贅述。
