我們已知，自然數(shù)數(shù)列是一種等差數(shù)列

其前n項(xiàng)和很容易求出

自然數(shù)平方的前n項(xiàng)和

那么通項(xiàng)公式如下形式的自然數(shù)平方的數(shù)列，其前n項(xiàng)和如何求解呢？

假設(shè)其前n項(xiàng)和為Tn

觀察下列等式

將等式中的x替換成自然數(shù)1~n，可得到一系列等式

我們將這n個(gè)等式相加，可得

那么我們就可得到自然數(shù)平方數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

我們通過(guò)一系列等式相加、錯(cuò)位相消，得到自然數(shù)平方的前n項(xiàng)和、自然數(shù)前n項(xiàng)和的關(guān)系，從而計(jì)算出自然數(shù)平方的前n項(xiàng)和。

自然數(shù)立方的前n項(xiàng)和

利用這種方法我們，再來(lái)看如何求自然數(shù)三次方數(shù)列的前n項(xiàng)和

我們首先計(jì)算出類似的等式

等式右邊出現(xiàn)三次項(xiàng)、二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，由于我們已經(jīng)計(jì)算出二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的n項(xiàng)和，三次項(xiàng)就可以用其表示出來(lái)，推導(dǎo)過(guò)程如下

將x替換成自然數(shù)1~n，得到n個(gè)等式

將上述一系列等式相加，可得

那么自然數(shù)三次方數(shù)列的前n項(xiàng)和為

向高次方推廣

利用這個(gè)方法可繼續(xù)求解自然數(shù)更高次方前n項(xiàng)和公式，我就不在這里展示了，大家有興趣的話可自行推導(dǎo)。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要注重方法的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)了這些方法就可以自己手推公式了！