函數(shù)同構(gòu)問題

關(guān)于同構(gòu)式下的“親戚函數(shù)”

同構(gòu)式下兩條主線

1．順反同構(gòu)：順即為平移拉伸后的同構(gòu)函數(shù)，反即為乘除導致的凹凸反轉(zhuǎn)同構(gòu)函數(shù).

2．同位同構(gòu)：

①加減同構(gòu)是指在同構(gòu)的過程中“加減配湊”，從而完成同構(gòu)；

②局部同構(gòu)是指在同構(gòu)過程中，我們可以將函數(shù)的某兩個或者多個部分構(gòu)造出同構(gòu)式，再構(gòu)造同構(gòu)體系中的親戚函數(shù)即可；

③差一同構(gòu)是指指對跨階以及指數(shù)冪和對數(shù)真數(shù)差1，我們往往可考慮用同構(gòu)秒殺之.

關(guān)于的親戚函數(shù)

如圖1：根據(jù)求導后可知：在區(qū)間，在區(qū)間，．

圖1                           圖2                               圖3                                圖4

考點1 平移和拉伸得到的同構(gòu)函數(shù)

如圖2：，即將向右平移1個單位，再將縱坐標擴大為原來的倍，故可得在區(qū)間，在區(qū)間，當時，．

如圖3：，即將向右平移2個單位，再將縱坐標擴大為原來的倍，故可得在區(qū)間，在區(qū)間，當時，．

如圖4：，即將向左平移1個單位，再將縱坐標縮小為原來的倍，故可得在區(qū)間，在區(qū)間，當時，．

考點2 乘除導致凹凸反轉(zhuǎn)同構(gòu)函數(shù)

                             圖5                                 圖6                                 圖7                           圖8        

如圖5：，即將關(guān)于原點對稱后得到，故可得在區(qū)間，在區(qū)間，當時，．

如圖6：，即將關(guān)于原點對稱后，向右移一個單位，再將縱坐標縮小倍，得到，故可得在區(qū)間，在區(qū)間，當時，．

如圖7：，屬于分式函數(shù)，將關(guān)于原點對稱后得到，故可得在區(qū)間，在區(qū)間，當時，．

如圖8：，屬于分式函數(shù)，將關(guān)于原點對稱后，左移一個單位，再將縱坐標縮小倍，故可得在區(qū)間，在區(qū)間，當時，．

考點3 順反同構(gòu)函數(shù)

圖9                              圖10                                        圖11                                    圖12            

如圖9：，當，即，當，即，．

如圖10：，實現(xiàn)了凹凸反轉(zhuǎn)，原來最小值反轉(zhuǎn)后變成了最大值，當，即，當，即，．

如圖11：，當，即，當，即，．

如圖12：，當，即，當，即，．

  通過以下例題來感受其中奧妙吧

1.對于任意的不等式  恒成立，則的取值范圍是        ．

解：由題意知，,,  ,

故只需,即，∴.        

2.設(shè)，若存在正實數(shù)，使得不等式.≥0恒成立，

則的最大值為       ．

解： ≥0 =>  => => ,即.                            

3.設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是    ．

解：，=， 

4.設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為    ．

解：，，.

5.設(shè)實數(shù)，若對任意的，若不等式恒成立，則的最大值為    ．

解：，解得

6.對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值     ．

解：由題意得，即，.

7.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是       ．

解：由題意得：，右邊湊1，

得，得.（說明：定義域大于零，所以，成立）.

8.對，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為      ．

解：由題意得，，，∴.

9.已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值是   ． 

解：，∴，∴,≥-e.

10.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為       ．

解：由題意可知：,∴,∴只需，∴.

11.已知是方程的實根，則關(guān)于實數(shù)的判斷正確的是     ．

A．        B．        C．        D．

解：，∴，∴.

12.對任意的，恒有，求實數(shù)的最小值     ．

解：由題意得：，即，

得.

13.若關(guān)于的方程只有一個實數(shù)解，則的取值范圍是     ．　　

解：由題意得，令，則由圖像易得或，所以或.

14. 已知函數(shù)，

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

解：第一問略.

（2）由題意得：，右邊式子湊1得，

即，因為，當且僅當等號成立，所以滿足即可，當且僅當，即等號成立，所以.

15. 設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.

（1）求，；  (2)證明：.

解：略.

由知，，要證，即證，得，

，構(gòu)造函數(shù)，即證，顯然，當僅當時等號成立，因為時，；時，，取等條件明顯不一致，所以顯然不存在，故，即．

16.已知函數(shù)．

（1）設(shè)是的極值點，求，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當時，．

解：函數(shù)．，，是的極值點，，解得，，，當時，，當時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）證明：當時，，即只需要證明，，構(gòu)造，則對恒成立，故只需證恒成立，當時，．

17. 已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，其中，若恒成立，求的取值范圍.

解：略.

由題意得：，因為，當且僅當時等號成立,所以等價于證:，所以.

18.已知函數(shù)，為的導函數(shù)．

（1）令，試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：．

解：（1）略；

（2）由題意得：，因為（當且僅當時等號成立），等價于證明，構(gòu)造，則，易知

19.已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若方程有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．

解：（1）略；

（2）由題意得：有兩解，得，構(gòu)造，易得，所以，當且僅當時等號成立，要使方程有兩個實根，則需滿足，得.

20. 已知．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的最小值為，求證．

解：（1）略；

（2）構(gòu)造，則，則，，，

，，接下來分類討論：1，當，則，成立；

2，當，則，得，成立；3，當，則，得；綜上得證.

21.已知函數(shù)，其中.

（1）若，證明：是定義域上的增函數(shù)；

（2）是否存在，使得在處取得極小值？說明理由.                                    

解（1）略；

（2）構(gòu)造，則，當且僅當時等號成立，

即，因為在處取得最小值，所以，這里需說明以及矛盾（方法同上題衡水金卷）.

22. 已知函數(shù)．（為常數(shù)）

（1）當時，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

解：（1）略；

（2）由題意得：，即，

右邊湊1，得，

構(gòu)造，則，即，當且僅當時取等號，所以只需滿足.

以上資料來源網(wǎng)絡(luò)閱讀與整理，如有侵權(quán)請聯(lián)系刪除，謝謝！