蔡榮根  中科院理論物理研究所   

曹利明  中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院

李理  中科院理論物理研究所   

楊潤秋  天津大學(xué)理學(xué)院

一、引言

北京時間10月6日晚，總獎金為1000萬瑞典克朗（約合760萬人民幣）的2020年諾貝爾物理學(xué)獎在眾人矚目中揭曉：其中羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）因為其“發(fā)現(xiàn)黑洞是廣義相對論的必然預(yù)言”而獲得一半的獎金。獎金的另外一半則授予萊因哈德·根澤爾（Reinhard Genzel）和安德里亞·格茲（Andrea Ghez），因為他們“在銀河系中心發(fā)現(xiàn)了一個超大質(zhì)量的致密天體”。

彭羅斯的學(xué)術(shù)成就極為全面，跨越了數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)多個領(lǐng)域。事實上在獲得諾貝爾獎之前，彭羅斯就在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和物理學(xué)領(lǐng)域享有極高的聲譽。現(xiàn)年已經(jīng)90歲高齡的彭羅斯是廣義相對論研究領(lǐng)域最為杰出的專家之一。彭羅斯與以往其他的諾貝爾物理學(xué)獎獲得者有一個顯著不同。以往大多數(shù)諾貝爾物理學(xué)獎獲得者都是從事物理或者工程技術(shù)方面研究出身，但是彭羅斯步入學(xué)術(shù)研究的起步卻是從事非常抽象的代數(shù)幾何的研究。彭羅斯的數(shù)學(xué)天賦極高。在上個世紀(jì)50年代末，受到劍橋大學(xué)廣義相對論研究專家Bondi和Sciama的影響，彭羅斯開始了廣義相對論方面的研究。擁有純數(shù)學(xué)的研究背景使得彭羅斯考察廣義相對論的方式和當(dāng)時的許多物理學(xué)家有所不同，并最終在廣義相對論的理論發(fā)展方面做出了巨大貢獻(xiàn)。這其中和這次“諾獎”關(guān)系最大的就是他關(guān)于“時空奇性”的若干研究和“宇宙監(jiān)督假設(shè)”。這里我們做一些簡單介紹。為了能夠以最為通俗的方式讓讀者理解相關(guān)內(nèi)容，我們在不至于導(dǎo)致謬誤的基礎(chǔ)上將不得不犧牲一些嚴(yán)謹(jǐn)性。希望對相關(guān)話題進(jìn)一步深入了解的讀者可以參閱文章中所列舉的一些參考文獻(xiàn)。

二、奇點定理

愛因斯坦的廣義相對論將引力和時空的彎曲聯(lián)系起來，這一理論在被提出之后的一百多年的時間里經(jīng)受住了無數(shù)的實驗檢測。在廣義相對論建立的早期，由于人們對這一充滿革命性的理論知之甚少，因此人們在探索這一個理論的過程中也曾遇到過許多“困惑”。廣義相對論中的愛因斯坦引力場方程是一個高度耦合的非線性方程。對這種方程的求解是一個極為困難的事情。在早期人們只能夠求解一些具有高度對稱性的情況。這其中最早的一個結(jié)果就是由德國的物理學(xué)家施瓦西（Schwarzschild）在廣義相對論提出后一個月得到的真空球?qū)ΨQ解——施瓦西解。另外一個同樣著名的成果則是由俄國的物理學(xué)家弗里德曼（Friedmann）在1922年得到的，它描述各向同性均勻宇宙演化的弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規(guī)。雖然這兩個解描述的物理非常的不同，但是人們發(fā)現(xiàn)它們有一個特別的相似之處：它們都表明時空中存在一個曲率無限的大的點——“時空奇點”①。后來，錢德拉塞卡、朗道和奧本海默等對于大質(zhì)量恒星演化的研究表明：球?qū)ΨQ的大質(zhì)量恒星在其核燃料燃燒耗盡之后將會不可避免地塌縮成為一個黑洞，從而導(dǎo)致時空奇點的形成（如圖1所示）。由于在廣義相對論中時空的曲率具有可觀測效應(yīng)，物理學(xué)上這種具有可觀測效應(yīng)的無限大并不是物理學(xué)家所樂見的。因為在物理世界中并不存在什么真正的無限大。一個理論預(yù)言了“無限大”往往預(yù)示著這個理論的危機。

圖1：左圖：一個球?qū)ΨQ的恒星塌縮為一個時空奇點的示意圖。

右圖：一個點電荷周圍的電場強度分布圖。

事實上廣義相對論的奇點疑難幾乎與廣義相對論同時誕生。然而在廣義相對論研究早期，包括愛因斯坦在內(nèi)的許多物理學(xué)家并不認(rèn)為在廣義相對論的框架下奇點會出現(xiàn)在真實的世界中。首先，施瓦西解和恒星晚期的演化都假設(shè)了球?qū)ΨQ性，但是真實的星體不可能具有那樣精確的球?qū)ΨQ性。其次，在弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規(guī)里，人們則假設(shè)了宇宙是均勻且各向同性的，但是真實的宇宙不可能具有理論模型中那樣完美的均勻?qū)ΨQ性。這使得一些物理學(xué)家認(rèn)為真實的物理世界并不存在奇點。這一想法非常地自然。比如，在經(jīng)典電磁學(xué)里一個點電荷的電場強度在中心處也是發(fā)散的，但是這并不導(dǎo)致經(jīng)典電磁學(xué)的任何危機——因為現(xiàn)實世界里不存在一個真正的“點”電荷。那么在廣義相對論里發(fā)現(xiàn)的那些“無窮大”也是因為模型過于簡化所致嗎？對于“球?qū)ΨQ”的偏離可以有效地避免時空奇點的產(chǎn)生嗎？對于這一個問題的回答分為兩派：一派認(rèn)為“發(fā)散”的出現(xiàn)是因為我們采用了過分理想、以至于現(xiàn)實中不存在的模型，其代表人物就包括蘇聯(lián)物理學(xué)家栗弗席茲（Lifshitz）和卡拉特尼科夫（Khalatnikov）等人；另外一派則認(rèn)為在廣義相對論框架下時空的奇點是不可避免的，其代表人物就是彭羅斯以及二年前去世的史蒂芬·霍金（Stephen Hawking）。

經(jīng)過幾年的研究，最終彭羅斯和霍金的觀點勝出。這其中彭羅斯的數(shù)學(xué)背景起到了關(guān)鍵作用。1965 年彭羅斯給出了第一個奇異性定理（也稱為奇點定理） 的證明【2】。這一工作是里程碑式的。它首次在不依賴對稱性的情況下證明了：只要時空中的物質(zhì)是由一些“正常”的物質(zhì)構(gòu)成②，并且時空滿足一些基本的性質(zhì)③，那么時空的奇點是普遍存在，是不可避免地。在證明奇異性定理的過程中，彭羅斯引入了現(xiàn)代廣義相對論研究中的許多重要概念，比如時空的奇異性、俘獲面、柯西面和時空的整體雙曲性等數(shù)學(xué)概念；并進(jìn)一步發(fā)展了在描述時空整體因果結(jié)構(gòu)極為有用的“彭羅斯圖”。這些數(shù)學(xué)概念與工具的發(fā)明極大地澄清了廣義相對論中的許多內(nèi)容，奠定了廣義相對論中關(guān)于奇異性研究的基調(diào)，并在當(dāng)代已經(jīng)成為研究廣義相對論的標(biāo)準(zhǔn)語言。彭羅斯的這一篇開創(chuàng)性工作一經(jīng)問世就迅速地吸引了許多物理學(xué)家的注意，這其中最為突出的就是霍金。實際上1965年的文章只是彭羅斯一系列關(guān)于奇點定理的文章的開篇。在其后的系列研究工作中，彭羅斯和霍金合作對彭羅斯1965年的結(jié)果進(jìn)行了推廣，并應(yīng)用到宇宙學(xué)中證明了大爆炸奇點的普遍存在性【3，4】。至此彭羅斯和霍金等人徹底地回答了廣義相對論中奇點的存在性問題：對球?qū)ΨQ性的偏離并不能有效地克服奇點的產(chǎn)生，奇點的形成在廣義相對論中幾乎是不可避免的。

三、宇宙監(jiān)督假設(shè)

在意識到奇點的不可避免性后，奇點附近的行為成為物理學(xué)家，尤其是廣義相對論研究者需要面對一個棘手的問題。在奇點附近，將會出現(xiàn)各種“詭異”的現(xiàn)象。例如：奇點附近大量物質(zhì)的產(chǎn)生；另外，裸奇點的存在甚至?xí)绊懙綗o限遠(yuǎn)處的觀測者。如何避免這種不良的影響？為此，在1968年到1969年間，彭羅斯提出了弱宇宙監(jiān)督假設(shè)：奇點總是被一個稱為“黑洞事件視界”的表面所包裹，因此不再裸露，遙遠(yuǎn)的觀測者不再受其影響【2，5，12】。 

在廣義相對論的研究中，人們通常將事件視界定義為一個黑洞的邊界。事件視界獨特的性質(zhì)使得其兩側(cè)的物理世界是因果隔絕的。由于人們是生活在黑洞的外面，如果所有的奇點都隱藏在黑洞的內(nèi)部的話，那么奇點的存在就不會對我們所能夠觀測到的物理世界產(chǎn)生任何影響了。這就從一定意義上解決了奇點導(dǎo)致的各種破壞性問題。基于彭羅斯的“奇點普遍存在”的結(jié)論和“弱宇宙監(jiān)督假設(shè)”，人們可以作如下思考：物理上可以產(chǎn)生的奇點必須包裹在一個事件視界中。由于宇宙中物質(zhì)演化產(chǎn)生奇點是普遍存在的，這些奇點都應(yīng)該隱藏在黑洞的事件視界中，因此黑洞的形成也一定是普遍的。這就是說，在廣義相對論中物質(zhì)的演化必然導(dǎo)致黑洞的出現(xiàn)。弱宇宙監(jiān)督假設(shè)成立的與否對廣義相對論自身和天體物理研究具有重要意義。弱宇宙監(jiān)督假如果成立，那么大質(zhì)量星體的最終歸宿只能是黑洞。

例如，人們發(fā)現(xiàn)的第一個時空奇點——施瓦西黑洞的奇點。對于這樣的奇點， 奇點的外部的確存在一個被稱之為“事件視界”的邊界。這一個邊界將施瓦西黑洞中奇點包裹起來，如圖2所示。事件視界完美地將施瓦西黑洞的奇點隱藏了起來，使得在奇點處任何破壞物理的怪異行為都不會對生活在視界外部的人們產(chǎn)生影響。從這個角度來說的話，施瓦西黑洞的奇點是一個“無害”的奇點。如圖2所示。

圖2：施瓦西黑洞的彭羅斯圖。視界將奇點和外部時空隔絕開來。

對于已發(fā)現(xiàn)的大部分精確解，彭羅斯的弱宇宙監(jiān)督假設(shè)都能被滿足。另外，研究表明：在一般條件下，普通物質(zhì)④組成的球?qū)ΨQ的塌縮星體形成的黑洞，奇點也會被視界所包裹。 

然而，對這樣一些特例適用的解決方案到底有多大的普遍性呢？這就是需要人們對弱宇宙監(jiān)督假設(shè)進(jìn)行證明。和彭羅斯證明奇點定理不同，宇宙監(jiān)督假設(shè)是一個相當(dāng)困難地問題，到目前為止仍然沒有獲得完全解決。事實上，黑洞視界定義本身就與時空的整體演化有著密切關(guān)系，不象奇點的定義那樣局域，這自然也導(dǎo)致對宇宙監(jiān)督的證明要比奇點困難得多。

鑒于宇宙監(jiān)督假設(shè)如此重要，在無法直接解決這一個問題的情況下，人們試圖對這一個問題進(jìn)行“旁敲側(cè)擊”。彭羅斯本人就曾提出過兩個思想實驗來驗證宇宙監(jiān)督假設(shè)。其中一個就是考慮可否通過一些物理允許的過程將一個黑洞“摧毀”但是卻保留黑洞內(nèi)部的奇點。實際上不難發(fā)現(xiàn)，如果宇宙監(jiān)督假設(shè)正確，那么這樣的過程就不會存在。因此，如果有人能夠設(shè)計一個物理過程（哪怕只是理論上可行）來“摧毀”黑洞并使得奇點暴露出來，那么他就否定了宇宙監(jiān)督假設(shè)；相反，如果人們在嘗試各種努力之后仍然無法摧毀黑洞，那么就從一定程度上暗示了宇宙監(jiān)督假設(shè)的正確性。經(jīng)過幾十年的努力，人們確實在理論上沒有發(fā)現(xiàn)摧毀黑洞的方法。這在很大程度上堅定了人們對宇宙監(jiān)督假設(shè)的信心。彭羅斯本人提出的第二個思想實驗是考慮黑洞的視界面積大小，他發(fā)現(xiàn)如果宇宙監(jiān)督假設(shè)成立的話，任何一個黑洞的視界面積都不會比相同質(zhì)量的施瓦西黑洞的視界面積大。這一個不等式在被提出后就吸引了許多數(shù)學(xué)和物理學(xué)家的興趣。Trudinger，Gibbons，Geroch，Wald 和Jang 等人在這個不等式或改進(jìn)型不等式的證明中都做出了重要貢獻(xiàn)。在彭羅斯提出這一結(jié)論20多年后，也就是2001年，數(shù)學(xué)家在證明這個不等式上取得了重要進(jìn)展，證明了一大類情況下黑洞的視界面積確實不會比同樣質(zhì)量的施瓦西黑洞的視界面積大。不過，這個不等式的更一般情況下是否也成立目前還是一個尚未解決的問題。除了這兩個思想實驗外，人們也可以研究黑洞視界在擾動下的穩(wěn)定性。這個可以看成是在微擾意義下研究是否可以“摧毀”黑洞。若黑洞事件視界在微擾下不穩(wěn)定，則奇點可能裸露在視界外部。因此關(guān)于黑洞穩(wěn)定性的研究可以從另一個側(cè)面檢驗宇宙監(jiān)督假設(shè) 【11】。一系列研究表明【12-15】：在線性微擾下，大部分黑洞都是穩(wěn)定的。因此奇點不會因為線性微擾而從視界內(nèi)部裸露出來。實際上最近LIGO觀測到的雙黑洞合并產(chǎn)生的引力波【16】以及“事件視界望遠(yuǎn)鏡”（Event Horizon Telescope）【17，18】對黑洞的直接成像都從實驗上驗證了黑洞的穩(wěn)定性，因為倘若黑洞視界不穩(wěn)定，實驗上就不可能觀測到黑洞存在的證據(jù)了。

另外奇點的存在使得人們無法有效地預(yù)言時空中物理現(xiàn)象的演化【5-7】。廣義相對論的一個重要物理意義就在于它能夠計算并且預(yù)言時空的演化，但是奇點的出現(xiàn)破壞了這種可預(yù)言性。這對于廣義相對論來說是一個致命的挑戰(zhàn)。那么有什么機制能夠消除或者至少是減弱這種挑戰(zhàn)呢？為此彭羅斯提出了一個強宇宙監(jiān)督假設(shè)：物理的時空都是可預(yù)測的。彭羅斯的工作表明奇點在經(jīng)典廣義相對論中是不可避免的，為了使視界內(nèi)的觀測者也無法觀測到奇點，這就要求奇點必須是類空的（類空奇點的一個例子是前文提到的施瓦西黑洞的奇點）。雖然人們可以依據(jù)廣義相對論預(yù)知其存在，但只有當(dāng)真正撞上時才能 “觀測” 到這樣的奇點。關(guān)于強宇宙監(jiān)督的研究也是近幾年的前沿?zé)狳c，本文的作者近期的一個工作證明了對一大類黑洞其奇點一定是類空的【19】，算是對強宇宙監(jiān)督“添磚加瓦”。

四、結(jié)束語

在廣義相對論提出一百多年來，彭羅斯的關(guān)于奇點的一系列開創(chuàng)性工作仍然被認(rèn)為是自愛因斯坦以來對廣義相對論最重要的貢獻(xiàn)之一。正如諾貝爾物理學(xué)獎委員會主席大衛(wèi)·哈維蘭說“今年獲獎?wù)叩陌l(fā)現(xiàn)為致密和超大質(zhì)量物體的研究開辟了新天地。但是，這些奇異的物體仍然提出了許多問題，這些問題需要解答，并激勵了未來的研究”。彭羅斯等人獲得諾貝爾獎并不意味著他們的研究領(lǐng)域已經(jīng)“蓋棺定論”。相反，關(guān)于引力、時空以及宇宙中的那些超大致密天體的研究仍然有著太多的未解之謎等著人們?nèi)ヌ剿?。譬如黑洞的?nèi)部結(jié)構(gòu)，黑洞外的引力場檢驗等問題。不過稍微有些遺憾的是，彭羅斯昔日的研究搭檔，曾經(jīng)提出過著名的“黑洞蒸發(fā)”理論，開創(chuàng)了黑洞熱力學(xué)研究的先河，并因為奇點相關(guān)研究工作而與彭羅斯一起獲得1988年“沃爾夫獎”的著名物理學(xué)家史蒂芬·霍金已經(jīng)于兩年前去世，未能見證這一榮耀的時刻。

注解

    ① 這里說的曲率無限大確切地說是由曲率張量構(gòu)成某些標(biāo)量是無限大的。這種類型的奇點稱作“曲率奇點”。實際上除了曲率奇點外，在廣義相對論中還有許多其他形式的奇點，比如“測地不完備”奇點。有一些時空奇點處曲率并不發(fā)散。詳情可以參閱文獻(xiàn)【1】。

    ② 這里所說的“正常物質(zhì)”是指它們滿足某些“能量條件”。

    ③ 在彭羅斯最早的證明中要求時空滿足“整體雙曲性”；后來這個條件被放寬為滿足“編時條件”【3，4】。

    ④ 在某些特殊的情況下，球?qū)ΨQ的引力塌縮也可能導(dǎo)致裸露在視界外的奇點【8-10】。

參考文獻(xiàn)：