1.直角三角形中的銳角三角函數(shù)

初中數(shù)學(xué)中第一次接觸三角函數(shù)，是為了在直角三角形中表示邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。

在圖中的直角三角形中

角度α的范圍為0°~90°，即弧度0~π/2，可以將上述三角函數(shù)看作自變量取值范圍為(0, π/2)的函數(shù)。

2.任意角的三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)的局限性太明顯了，與上篇文章《角度擴(kuò)展之任意角與弧度角》中角的范圍擴(kuò)展類似，三角函數(shù)的自變量取值范圍也可以相對(duì)應(yīng)地?cái)U(kuò)充到整個(gè)實(shí)數(shù)集。

現(xiàn)在我們來(lái)重新定義三角函數(shù)，將角的范圍擴(kuò)充。以原點(diǎn)A為圓心作半徑為r的圓，圓上任意一點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x, y)，半徑AB與x軸形成夾角α（實(shí)數(shù)集上的任意角），則定義

上述定義中，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)角都存在函數(shù)值，正切函數(shù)要求x不能為0，其自變量的取值范圍應(yīng)為

3.單位圓中的三角函數(shù)

上述定義中涉及到圓的半徑r，由于r可以取任意正實(shí)數(shù)值，為了更加簡(jiǎn)化三角函數(shù)的定義，我們令r=1。

即在圓心在原點(diǎn)的單位圓中，任意角的三角函數(shù)定義簡(jiǎn)化為

正切函數(shù)的角仍然不能為π/2的奇數(shù)倍。

這樣一來(lái)，我們就把三角函數(shù)的定義域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域之內(nèi)。根據(jù)任意角的定義，單位圓上任意一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)多個(gè)角度，它們之間的差值為2π的整數(shù)倍。換個(gè)角度理解就是，相差為2π的角對(duì)應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值都相同。正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是周期為2π的周期函數(shù)，而正切函數(shù)實(shí)際上為周期為π的周期函數(shù)。