 20世紀(jì)分析數(shù)學(xué)的12座豐碑 法國數(shù)學(xué)家 Choimet 與 Queffélec 在其《20世紀(jì)分析數(shù)學(xué)的12座豐碑》一書，選用了英國數(shù)學(xué)家哈代與利特爾伍德的一幅合影作為封面。躋身于前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家蓋爾芳德（Israel Gelfand）、美國數(shù)學(xué)家維納（Norbort Wiener）、沃爾夫（Thomas Wolff）、瑞典數(shù)學(xué)家卡爾松（Lennart Carleson）與霍曼德（Lars V. H?rmander）等一流分析數(shù)學(xué)大師中，而且被列為封面人物，對哈代而言可謂是實至名歸。 羅素（Bertrand A. W. Russel，1872-1970） 公眾心目中，可能最為世人稱道的是哈代慧眼識珠、提攜印度數(shù)學(xué)家拉馬努金的傳奇故事。幾年前，英國還拍出了一部關(guān)于拉馬努金的電影《知無涯者》。電影片頭引用了羅素的一段話： 公正地說，數(shù)學(xué)不單單擁有真理，還擁有非凡的美。  哈代曾寫過一本流傳甚廣的小書，名為《一個數(shù)學(xué)家的辯白》。那本書里最打動人的一句話也是如此： 美是鑒別數(shù)學(xué)的第一標(biāo)準(zhǔn)。丑陋的數(shù)學(xué)不可能享有永久的席位。 數(shù)學(xué)美究竟是什么樣的呢？幾年前，阿蒂亞約人做了個試驗，讓一群人觀摩一組數(shù)學(xué)公式，同時記錄腦的磁共振成像，如此來評估人們對不同公式的美感反應(yīng)。結(jié)果排名第一丑的卻是拉馬努金所發(fā)現(xiàn)的極為威猛的計算圓周率的無窮級數(shù)。真不知九泉下的哈代該做何想？拉馬努金可算是哈代最欣賞的天才了。但“數(shù)學(xué)美”對蕓蕓眾生往往只是貼上了高雅標(biāo)簽的談資。若沒有足夠的理論素養(yǎng)，我們這些普通人其實很難理解數(shù)學(xué)里最深刻的美。 據(jù)說拉馬努金創(chuàng)造出的這個計算圓周率的厲害的公式，竟然被評為最丑的數(shù)學(xué)公式。 若粗淺地領(lǐng)略哈代一派的數(shù)學(xué)風(fēng)采，也許可以讀讀他的兩本廣為流傳的教材，一本是《純數(shù)學(xué)教程》，另一本是他和利特爾伍德、波利亞合著的《不等式》。當(dāng)然，還少不了他最著名的小書《一個數(shù)學(xué)家的辯白》。哈代的這本《純數(shù)學(xué)教程》和他作為英國分析數(shù)學(xué)事實上的旗手，其實大有說頭。 英國是微積分的故鄉(xiāng)，但偉大的牛頓賦予微積分的是自然哲學(xué)的靈魂。牛頓之后的英國以劍橋為中心，涌現(xiàn)出了一批杰出的自然哲學(xué)（數(shù)學(xué)物理學(xué)）學(xué)者，比如斯托克斯（Sir G. Stokes）、麥克斯韋（J. C. Maxwell）、湯姆遜（W. Thomson，即開爾文勛爵Baron Kelvin）、狄拉克（P. Dirac），還有2018年去世的霍金（S. Hawking）。然而，以自然哲學(xué)的理念支撐的數(shù)學(xué)物理學(xué)，在分析數(shù)學(xué)意義下的嚴(yán)密性總歸是令人猜忌的。比如曾經(jīng)轟動一時的圍繞Riemann猜想的所謂阿蒂亞（Atiyah）證明，最終似乎草草了事。雖然事主是拿過菲爾茲數(shù)學(xué)獎的大學(xué)問家，可是在分析數(shù)學(xué)中諸如Riemann猜想這類頂級問題上，嚴(yán)密性決定成敗。 歷史上，英國數(shù)學(xué)家的總體水準(zhǔn)向來超然于世。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)物理學(xué)的傳承之外，英國還為19世紀(jì)奉獻(xiàn)了矩陣、向量、四元數(shù)等。但在事關(guān)分析數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性理論建樹上（比如無窮級數(shù)收斂性、函數(shù)論等等），直到19世紀(jì)末，英國卻沒有出現(xiàn)令人刮目相看的分析數(shù)學(xué)的圣手。這與出現(xiàn)了柯西、維爾斯特拉斯的歐洲大陸反差巨大?；蛟S，探索期的數(shù)學(xué)需要自然哲學(xué)的引領(lǐng)，但在經(jīng)典物理學(xué)逐步成熟之際的19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)和哲學(xué)的總體學(xué)術(shù)潮流步入了冷靜的整理時段，分析精神引領(lǐng)了潮流。  同在三一學(xué)院，哈代比羅素小了幾歲。彼時他讀到法國巴黎高工約旦（Jordan）的分析數(shù)學(xué)教程，內(nèi)心震顫于歐洲大陸的嚴(yán)密風(fēng)格，那種嚴(yán)密性恰好是當(dāng)時英國傳統(tǒng)里非常缺乏的。當(dāng)然，與羅素關(guān)注數(shù)學(xué)自身的邏輯基礎(chǔ)有所不同，哈代聚焦的是分析數(shù)學(xué)中具體的嚴(yán)密性問題。自1901年起，哈代就開始在數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域持續(xù)發(fā)表水平不凡的論文。到1907年，以微積分和無窮級數(shù)為主旨的《純數(shù)學(xué)教程》正式出版。自劍橋大學(xué)開始，英國各個大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)皆奉哈代的教材為至寶，紛紛更改了教學(xué)大綱。英國終于有了可以與歐陸媲美的嚴(yán)格講解微積分的教材。此后，這本教程不斷修訂，到1943年已經(jīng)出了第9版。如今這部《純數(shù)學(xué)教程》早已成為世界各地學(xué)習(xí)微積分的標(biāo)準(zhǔn)參考書了。  為什么哈代的教材能夠深入人心？因為哈代在數(shù)學(xué)上無與倫比的明晰、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)直３至藰O好的可讀性。自視甚高的美國數(shù)學(xué)家維納，就曾對哈代贊不絕口： In all my years of listening to lectures in mathematics,I have never heard the equal of Hardy for clarity, for interest, or for intellectual power. If I am to claim any man as my master in my mathematical thinking, it must be G.H. Hardy. 在我聽過的所有數(shù)學(xué)講座中，從未有誰對數(shù)學(xué)的講解能達(dá)到哈代那樣一種明晰、充滿趣味、富有智慧的境界。如果要讓我來確認(rèn)誰是我數(shù)學(xué)思維的導(dǎo)師，那個人必然是哈代無疑。 年輕學(xué)者受到哈代指點(diǎn)的，其實還有不少例子。比如1930年代圖靈在普林斯頓攻讀博士學(xué)位時，恰好哈代與柯朗也在那里訪問。圖靈的數(shù)學(xué)也因此得到了哈代的教誨。其實圖靈在計算機(jī)科學(xué)之外，還在演化動力學(xué)方程上做過漂亮的工作。而維納對哈代的敬佩，更是事出有因。 維納曾與劍橋?qū)W派的青年數(shù)學(xué)家帕雷（Raymond Paley）有過一段美妙的合作。坦率地說，在維納多方面的學(xué)術(shù)成就中，最該令人刮目相看的一座高峰，就是在研究信號的濾波時，維納與帕雷合作貢獻(xiàn)出了令人驚嘆的帕雷-維納定理（Paley-Wiener Theorem）。這個深刻的定理，揭示了能量有限的信號，經(jīng)過低通濾波之后，必然呈現(xiàn)出指數(shù)型整函數(shù)的結(jié)構(gòu)，而且，反之亦然。在以往的信號處理教材里（比如希臘學(xué)者Papoulis的《信號分析》），這個深刻的定理一直就是必修內(nèi)容，但在近年來一輪又一輪所謂數(shù)字化的時髦中，前輩學(xué)者創(chuàng)造出的不少精品因為太難而被當(dāng)作垃圾扔到一旁。多少人神游在虛幻的數(shù)字域，卻忘掉了物理信號的理論根基。如果我們?nèi)プx這個定理冗長的論證，就會發(fā)現(xiàn)它綜合了復(fù)變函數(shù)論與傅立葉分析里相當(dāng)深刻的知識，一長串令人望而生畏的硬分析技巧。而這位帕雷，正是利特爾伍德在劍橋指導(dǎo)的研究生。不幸的是，受教于伊頓公學(xué)與劍橋、像其導(dǎo)師一樣酷愛體育的健將帕雷，在加拿大班夫滑雪時遭遇雪崩，年僅26歲就英年早逝。假若沒有這一場雪崩，帕雷很可能會是英國分析數(shù)學(xué)的一代旗手。據(jù)說，珍視人才的哈代，曾經(jīng)哀嘆帕雷與拉馬努金的早逝。26歲本該是金色年華，這個年齡的牛頓已經(jīng)是劍橋的教授，這個年紀(jì)的拉馬努金才剛剛進(jìn)入劍橋開始接受哈代嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，但這個年齡已經(jīng)初露鋒芒的帕雷，卻死于一場運(yùn)動冒險帶來的意外。 哈代既是一位成就斐然的數(shù)學(xué)家、也是一位天才的教師。其寫作風(fēng)格樸實但又十分明晰。其《純數(shù)學(xué)教程》中的習(xí)題量相當(dāng)大，而且多是從劍橋的榮譽(yù)數(shù)學(xué)等級考試（Tripos）中精選出來的，不同于一般教科書局限于純技術(shù)性的思維體操式訓(xùn)練，哈代的教材對數(shù)學(xué)思維的考驗無所不在?？梢哉f，這本書其實是一位高明的分析學(xué)家對微積分入門者的一組綜合訓(xùn)練。它既沒有走到幾十年后那種以軟分析為標(biāo)桿的宏大敘事框架、沒有陷入繁瑣的概念體系卻難以學(xué)到解決具體問題的尷尬、沒有摒棄英國數(shù)學(xué)物理優(yōu)秀傳統(tǒng)。比方說，在第9章雜例部分的第40題，給出了Napier計算對數(shù)的一個精妙的近似手法。從這一類習(xí)題看，完全不弱于俄羅斯流派強(qiáng)調(diào)的硬朗計算的訓(xùn)練。特別是，教材中許多地方都涉獵到函數(shù)或序列的振蕩性這類非常重要的具體形態(tài)研究。對未來要進(jìn)入信息或工業(yè)領(lǐng)域從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的學(xué)子，哈代的教材提供了絕佳的技術(shù)性訓(xùn)練指南。 這本《純數(shù)學(xué)教程》在哈代自己手里持續(xù)經(jīng)營了近40年，一版再版，卻質(zhì)樸如初。比如他沒有引入“一致收斂”的概念，也沒有把點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)放進(jìn)去。哈代之用心，是在許許多多“看得見、摸得著”的具體的函數(shù)形態(tài)上或級數(shù)上，對級數(shù)求和、收斂性等等的精彩處理，讀起來很充實，可以實實在在學(xué)到一手計算與分析的硬功夫。而這些功夫，雖比不上那些可以成為談資的哲學(xué)化的名詞，卻是日?？蒲兄凶钍苡玫氖侄巍?/p> 維特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889-1951） 當(dāng)然另有高人未必對哈代的分析技巧著迷。據(jù)說維特根斯坦就研讀過哈代的這本《純數(shù)學(xué)教程》，而且聽聞今年十月份，維特根斯坦關(guān)于哈代這本教程的讀書筆記即將揭秘——書名正是《維特根斯坦關(guān)于哈代“純數(shù)學(xué)教程”的筆記》。令人好奇的是，這位在《哲學(xué)研究》里很酷地寫出“當(dāng)我相信人有靈魂時，我相信的是什么”的維特根斯坦，會在哈代的教材上寫出什么花兒。邏輯是理性最純正的力量，特別是當(dāng)它與計算關(guān)聯(lián)起來的時候。相比起崇拜哥德爾的不完全性，蕓蕓眾生似乎更愿意享受圖靈帶給我們的可計算性。  哈代的名字常常和劍橋聯(lián)系在一起，不過他有十多年是在牛津做教授，他也曾在美國的普林斯頓大學(xué)教書。在上個世紀(jì)20年代末，哈代就已經(jīng)把英國分析數(shù)學(xué)的水平整體地帶入到前所未有的高度。在他自己掌控的倫敦數(shù)學(xué)會期刊上，來自全球的分析數(shù)學(xué)的高質(zhì)量論文撐起了英國分析數(shù)學(xué)的一片繁榮景象。他和利特爾伍德培養(yǎng)出了一批才華出眾的弟子。這些，或許是一個富有領(lǐng)導(dǎo)力的數(shù)學(xué)家才可能留給世界的數(shù)學(xué)景觀。 劍橋和牛津這兩個牛校在哈代心中孰輕孰重，旁人自然好奇。學(xué)術(shù)卓絕之外的牛劍之間，還有聲名遠(yuǎn)揚(yáng)的賽艇對抗賽。哈代是個超級板球迷，卻短于賽艇。有人問哈代在玩體育時到底代表劍橋還是代表牛津，他答道：玩板球的時候是代表劍橋的，劃賽艇的話就算是代表牛津了?？磥?，許多人喜歡把哈代和劍橋放在一起談，還是合乎他心意的。 這個世界上，有這么一些聰慧又勤勉的學(xué)者，以學(xué)術(shù)為業(yè)，執(zhí)念嚴(yán)格性、執(zhí)念邏輯、執(zhí)念真理?？梢韵窳_素那樣為了邏輯的使命開始書寫內(nèi)心的篇章，更能夠在邏輯面前低下頭來放棄行進(jìn)中的著作。可以像哈代那樣耐心地把一本教科書反反復(fù)復(fù)修訂四十年。這樣的學(xué)者，這樣的名牌大學(xué)，或許是世人所景仰和懷念的。他們的人生，無論是跌宕的還是平靜的，都完美地詮釋了學(xué)術(shù)精神應(yīng)該有的純粹。 有許多值得一讀的數(shù)學(xué)家，但我會永遠(yuǎn)偏愛哈代。曾經(jīng)酷愛運(yùn)動的哈代，在二戰(zhàn)期間身體極度衰弱，數(shù)學(xué)創(chuàng)造才能也逐步消逝。正是在這悲愴的英雄情懷中，他寫下了《一個數(shù)學(xué)家的辯白》。我喜歡他鏗鏘的字句： The noblest ambition is that of leaving behind one something of permanent value......Ambition has been the driving force behind nearly all the best work of the world. 最崇高的雄心，就是留下一些永恒的價值......世界上幾乎所有優(yōu)秀成果背后的驅(qū)動力，幾乎都是雄心壯志。 與其說這是一個數(shù)學(xué)家的辯白，莫如說：這是一個數(shù)學(xué)家的宣言。
本書是哈代于 1940 年寫成的心得之作，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)的持久性和數(shù)學(xué)的重要性三大主題。作者從自己的角度談?wù)摿藬?shù)學(xué)中的美學(xué)，給眾多數(shù)學(xué)“門外漢”一個機(jī)會，洞察工作中的數(shù)學(xué)家的內(nèi)心。作者還討論了數(shù)學(xué)的本質(zhì)與特點(diǎn)、數(shù)學(xué)的歷史及其社會功能等諸多話題。該書被稱為是“用優(yōu)雅的語言對數(shù)學(xué)真諦進(jìn)行了完美的揭示”，原汁原味地向讀者展示了一位真正、純粹的數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想，是不可多得的經(jīng)典讀物。 圖靈官方小店 圖靈官方小店
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