    旋轉(zhuǎn)是圖形的全等變換之一，是解較難幾何題的常用方法。一般地，當(dāng)圖形中我們所關(guān)注的某個(gè)三角形的某條邊出現(xiàn)與其他邊具有公共的端點(diǎn)且相等（簡稱'共點(diǎn)又等長'）的條件時(shí)，可考慮旋轉(zhuǎn)變換，將該三角形繞著'共點(diǎn)'旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，使?等長'的邊重合，如此一來往往能使問題迎刃而解。請看以下例子： 例1 如圖1，已知P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB=140°，∠APC=130°，求以PA、PB、PC為三邊的三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).  分析：欲求以PA、PB、PC為三邊的三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，首先考慮構(gòu)造以PA、PB、PC為三邊的三角形。因?yàn)椤?em>ABC是等邊三角形，所以BA=BC，且∠ABC=60°。由此可得△BAP的邊BA與BC'共點(diǎn)又等長'，故可考慮將△PAB旋轉(zhuǎn)。 解：因?yàn)椤?em>ABC是等邊三角形，所以BA=BC，∠ABC=60°。 將△BAP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△BCQ， 則PA=QC，PB=QB，∠PBQ=60°。 連接PQ，則△BPQ是等邊三角形，從而QB=PQ, 所以，以PA、PB、PC為邊的三角形是△PQC. 在△PQC中, ∠PQC=∠BQC-60° =140°-60°=80°, ∠QPC=∠BPQ-60° =(360°-140°-130°)-60°=30°， 所以∠PCQ=180°-80°-30°=70°. 所以PA、PB、PC為三邊的三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是80°、30°和70°。 例2 如圖2，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，若PA：PB：PC=3：4：5，求∠APB的度數(shù).  分析：欲求∠APB的度數(shù)，考慮到PA：PB：PC=3：4：5，聯(lián)想到勾股定理的逆定理，以PA、PB、PC為邊的三角形是直角三角形，因此，設(shè)法將PA、PB、PC變換到同個(gè)三角形中。由已知條件可知△BAP的邊BA與BC相等，故考慮將△BAP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)。 解：因?yàn)椤?em>ABC是等邊三角形，所以BA=BC，∠ABC=60°。 將△BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△BCQ， 則QB=PB，QC=PA，∠PBQ=60°，∠APB=∠CQB，∠PBQ=60°。 連接PQ，則△BPQ是等邊三角形，所以PQ=PB，∠PQB=60°。 因?yàn)?em>PA：PB：PC=3：4：5， QC：PQ：PC=3：4：5， 所以△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°， 所以∠APB=∠CQB =∠PQB+∠PQC=60°+90°=150°。 例3 如圖3，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°。求證：EF=BE+DF．  分析：考慮到△ADF的邊與AB'共點(diǎn)又等長'，因此將△ADF旋轉(zhuǎn)。 證明：因?yàn)樗倪呅?em>ABCD是正方形，所以AD=AB，∠DAB=90°， 將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABG， 則BG=DF，∠ABG=90°，AG=AF，∠BAG=∠DAF， 所以∠GBE=180°， 所以G、B、E三點(diǎn)共線， 所以BE+DF=BE+BG=EG. 因?yàn)椤?em>EAF=45°，所以∠GAE=45°， 又因?yàn)?em>AE=AE， 所以△AEG≌△AEF， 所以EG=EF， 因?yàn)?em>EG=BE+BG=BE+DF， 所以EF=BE+DF． 例4 如圖4，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為______．  分析：由已知易知△ABD的邊AB=AC，將△ABD旋轉(zhuǎn)。 解：因?yàn)椤?em>ABC=∠ACB=45°， 所以∠BAC=90°，AC=AB， 將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ACE， 則BD=CE，AD=AE，∠DAE=90°， 所以∠ADE=45°， 又∠ADC=45°，所以∠CDE=90°； 因?yàn)?em>AD=4，所以DE=4√2， 因?yàn)?em>CD=3， 所以CE=√[(3)2+(4√2)2]= √41， 所以BD=√41． 例5 已知點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC. （1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長； （2）若PA2+PC2=2PB2，求證：點(diǎn)P在對(duì)角線AC上. 分析：將△BAP進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。 解：（1）由正方形ABCD，得 BA=BC，∠ABC=90°，將△BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△BCE，連結(jié)PP/（圖5-（1）），  則△BPP/是等腰直角三角形， 所以∠BEP=45°， PE=√2BP=4√2， 又∠BEC=∠ACE=90°，∠APB=135°， 所以∠PEC=90°， 所以PC=√(PE2+EC2)=6； （2）證明：將△BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE，則∠APB=∠CEB。 連結(jié)PE（如圖5-（2））。在等腰直角三角形PEB中，PE2=2PB2，  因?yàn)?em>PA2+PC2=2PB2，EC=PA， 所以PE2=PA2+EC2， 由勾股定理逆定理，得∠PCE=90°， 所以∠CEB+∠BPC=360°-2×90°=180°， 所以∠APB+∠BPC=180°， 所以A、P、C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在AC上. 例6 如圖6，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，BC=5，DC=1，求AC的長。  分析：△ACD的邊AD=AB，將△ACD旋轉(zhuǎn)。 解：因?yàn)?em>AB=AD，∠BAD=90°， 所以將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABE， 所以BE=DC=1，∠ABE=∠D，AE=AC，∠CAE =90°， 因?yàn)椤?em>BAD=∠BCD=90°， 所以∠ABC+∠D=180°， 所以∠ABC+∠ABE=180°， 所以E、B、C三點(diǎn)共線， 所以CE=BC+BE=6， 所以AC=CE/√2=6/√2=3√2。 例7 如圖7，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=90°，點(diǎn)P到點(diǎn)A及正方形的中心O的距離分別為PA=4，PO=6，求PD的長． 分析：易知△OAP的邊OA等于OB，將△OAP旋轉(zhuǎn)。 解：因?yàn)?em>O為正方形ABCD的中心， 所以OA=OB，∠AOB=90°， 把△OAP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△BEO，連接PE， 則△OPP/為等腰直角三角形， 所以∠OPE=∠OEP=45°． 因?yàn)?em>PO=6,所以PE=6√2． 連接AE。 在△ABE與△DAP中， 因?yàn)?em>AB=AD，∠ABE=45°+∠OBE=45°+∠OAP=∠DAP， BE=AP， 所以△ABE≌△DAP， 所以PD=EA，∠BEA=∠APD=90°， 所以∠APO=∠BEO=135°， 所以∠APE=∠APO+∠OPE=180°， 所以A、P、E三點(diǎn)共線， 所以AE=AP+PE=4+6√2． 所以PD=4+6√2． 例8如圖8，P、Q是等腰Rt△ABC斜邊AB上兩點(diǎn)，且∠PCQ=45°。求證：AP2+BQ2=PQ2. 分析：欲證AP2+BQ2=PQ2，設(shè)法構(gòu)造以AP、PQ、BQ為邊的三角形，再證明該三角形是直角三角形?？紤]到△CAP中的邊CA=CB，故將△CAP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)。 證明：因?yàn)?em>CA=CB，∠ACB=90°， 所以把△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得△CBD，連結(jié)DQ。 則AD=CP，∠BCD=∠ACP，AP=BD，∠CBD=∠A=45°， 所以∠DBQ=90°，所以BD2+BQ2=DQ2， 所以AD+BQ2=DQ2； 因?yàn)椤?em>PCQ=45°，所以∠ACP+∠BCD=45°， 所以∠DCQ=45°=∠PCQ， 所以△DCQ≌△PCQ，所以DQ=PQ， 所以AP2+BQ2=PQ2. 例9 如圖9，△ABC是等邊三角形，D是△ABC外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2，CD=6，當(dāng)∠ADC的度數(shù)為多少時(shí)，BD的值最大？最大值是多少？ 分析：△BAD的邊BA=BC，將△BAD旋轉(zhuǎn)。 解：在等邊△ABC中，BA=BC，∠ABC=60°， 將△BAD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△BCE， 所以BE=BD，CE=AD=2，∠BCE=∠BAD，∠DBE=60°。 連接DE，則△BDE是等邊三角形， 所以BD=DE。 在△CDE中，因?yàn)?em>DE≤CD+CE， 當(dāng)E、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，DE最大值=CD+CE=8， 所以BD最大值為8。 當(dāng)BD=8時(shí)，E、C、D三點(diǎn)共線，所以∠BCE+∠BCD=180°， 所以∠BAD+∠BCD=180°， 所以∠ABC+∠ADC=180°， 所以∠ADC=120°。 所以當(dāng)∠ADC=120°時(shí)，BD的值最大，最大值是8。 |
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