在二次函數(shù)壓軸題中，通常會有許多幾何圖形，雖然在坐標系中，拋物線解析式、直線解析式、點坐標大行其是，但利用好幾何性質(zhì)對解此類題目往往有意想不到的快捷作用。

常州這道壓軸題便屬于這一類，而且到最后一問，幾乎淪為純幾何壓軸題，拋物線更像是“假”的，將它拿掉也并不影響解答，也算是壓軸題中的另類了。

題目

如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B，拋物線過點C(1,0)，且頂點為D，連接AC，BC，BD，CD.

(1)填空：b=________；

(2)點P是拋物線上一點，點P的橫坐標大于1，直線PC交直線BD于點Q，若∠CQD=∠ACB，求點P的坐標；

(3)點E在直線上，點E關(guān)于直線BD對稱的點為F，點F關(guān)于直線BC對稱的點為G，連接AG.當點F在x軸上時，直接寫出AG的長.

解析：

(1)將點C(1,0)代入y=x2+bx+3，即可求出b=-4；

(2)先做好準備工作，圖中能求的點坐標不少，不妨先求出來備用，A(0,3)，C(1,0)，D(2,-1)，B(4,3)；

觀察懷疑∠BCD是直角，下面我們來驗證，分別求出BC=3√2，CD=√2，BD=2√5，發(fā)現(xiàn)BC2+CD2=BD2，由勾股定理逆定理得到∠BCD=90°，而且tan∠DBC=1/3；

再觀察Rt△AOC，發(fā)現(xiàn)tan∠CAO=1/3，找到一個等量關(guān)系了，即∠DBC=∠OAC；

繼續(xù)從剛才得到的直角出發(fā)，直線BC的解析式很容易求，是y=x-1，發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角為45°，出現(xiàn)一個特殊角；

將這些發(fā)現(xiàn)結(jié)合起來，我們對∠ACB的認識可以更深入，如下圖：

過點C作CH⊥AB，這樣將∠ACB分成∠ACH和∠BCH，其中∠BCH=45°，即∠ACB=45°+∠ACH，再由∠ACH=∠OAC，進一步得到∠ACB=45°+∠OAC，此時我們驚喜地發(fā)現(xiàn)另一個意外：

若直線BD與x軸交點為K，則有∠CKD=∠BCK+∠DBC，其中∠BCK=45°，還記得前面我們探索出來的∠DBC=∠OAC嗎？現(xiàn)在我們可得到∠CKD=45°+∠DBC=45°+∠OAC=∠ACB了，說明此時直線PC與x軸重合，點Q與點K重合，那么點P坐標就是拋物線與x軸的另一個交點，為(3,0)；

乘勝追擊，難道只有一個這樣的點Q嗎？顯然不會，另一個點Q在哪里呢？繼續(xù)作圖探索如下：

另一個點Q，與點C、K恰好構(gòu)成一個等腰三角形，于是作CM⊥BD于點M，先求出BD的解析式為y=2x-5，所以設(shè)CM解析式為y=-1/2x+t，代入點C坐標求出t=1/2，于是CM為y=-1/2x+1/2，與y=2x-5聯(lián)立之后求出點M(11/5,-3/5)，它一定是QK的中點，由中點公式可求出Q(19/10,-6/5)，再求出CQ的解析式為y=-4/3x+4/3，它與拋物線的交點為P(5/3,-8/9)；

(3)點E在直線AC上，且關(guān)于直線DB的對稱點F恰好在x軸上，為了找到這個點，我們不妨將直線AC關(guān)于直線BD對稱，對稱后的直線與x軸交點即為點F，如下圖：

先求出直線AC與直線BD的交點N的坐標，為(8/5,-9/5)；

仍然觀察到∠ACB=∠CNB+∠DBC，同樣別忘記前面我們探索過∠ACB=45°+∠DBC，于是發(fā)現(xiàn)∠CNB=45°，這算是重大發(fā)現(xiàn)了。

由軸對稱性質(zhì)可知∠DNF=45°，即∠CNF=90°，于是△FNC∽△AOC，我們可利用tan∠NFC=1/3求出它各邊的長，因為CN可求，為3√10/5，所以求出CF=6，此時觀察△CFG，其中∠BCF=45°，所以∠FCG=90°，由軸對稱性質(zhì)可知△CFG為等腰直角三角形，得到CG=CF=6，點G坐標可求，結(jié)果是(1,6)，最后由兩點間距離公式求出AG=√10.

解題反思

給人印象最深的是第3小題，關(guān)鍵點在于得到∠CNB=45°，到最后推導(dǎo)的時候，發(fā)現(xiàn)圖中許多都是特殊圖形，事實上點C與點G關(guān)于直線AB對稱，還有諸多等腰直角三角形。

此題也可以用求各直線解析式，再求交點，聯(lián)立方程來求解，但復(fù)雜程度比起用幾何性質(zhì)還是太高了，如果把它當成幾何壓軸題，路便要好走得多。

在找點F的過程中，它是否唯一點，也可以用軸對稱性質(zhì)來解釋，由于點E在直線AC上，同時點E與點F關(guān)于直線BD軸對稱，那么點F就一定在直線AC關(guān)于直線BD軸對稱的圖形上，這也是我們?yōu)槭裁匆鬏S對稱直線的原因，而這條直線即圖中的NF，與x軸交點也只有唯一一個。

一道偽裝成二次函數(shù)壓軸題的幾何綜合題，真是巧妙！