某天小編閑來無事瀏覽今年的高考題,全國卷II文科數(shù)學(xué)一道與鋼琴相關(guān)的題成功引起了我的注意。大家總覺得我們理科生不懂浪漫,這道題看起來可以替我們評評理。 作為理科生,看到數(shù)學(xué)題自然是很興奮地先解題,列舉法可以很簡單粗暴地給出答案:發(fā)現(xiàn)原位大三和弦和原位小三和弦在一組音中一共有10種情況,所以答案選C,你做對了嗎? 做完題小編不禁開始思考音樂背后的物理和數(shù)學(xué)原理,為什么鋼琴一組音有7個(gè)白鍵5個(gè)黑鍵,和弦為什么是這樣排列的?初中物理中我們就學(xué)過聲音是由振動(dòng)產(chǎn)生的聲波,可以通過介質(zhì)(空氣、固體或液體)以波的形式傳播被人耳或者其它接收器感知。在自然界中能為人的聽覺所感受到的音是非常多的,人耳能識別頻率在20Hz~20000Hz的聲音,但并不是所有的聲音都能作為音樂的材料。那么什么樣特別的聲音可以用來搞音樂呢?我們知道聲音有高低、強(qiáng)弱、長短、音色等四種性質(zhì)。振動(dòng)發(fā)聲就會產(chǎn)生一定的頻率(Hz),對應(yīng)的便是音高,而其傳播的能量大小對應(yīng)的是音強(qiáng)(dB)。由于發(fā)聲體材料特性不同,會產(chǎn)生不同的音色,音色是一個(gè)比較玄學(xué)復(fù)雜的東西,它與發(fā)聲體的性質(zhì)、形狀及其泛音的多少有關(guān),比如二胡和鋼琴彈撥同一個(gè)音給人的體驗(yàn)是完全不同的,比如班主任和小芳喊你名字給你的感覺也是不同的。 音強(qiáng)、音高、音色可以通過音頻圖像展示出來,音強(qiáng)對應(yīng)的是其振幅大小,與彈撥樂器的力度有關(guān);音高對應(yīng)的是頻率高低,一般情況下樂音是固定頻率的;而音色是伴隨著主音高一些附加的頻率,與樂器的種類、材質(zhì)、狀態(tài)等有關(guān)。
音頻圖像(圖源:QIPOST《鋼琴音色的物理學(xué)》) 并不是所有的聲音都好聽,好聽的是樂音,不好聽的是噪音,但是蘿卜青菜各有所愛,如何更標(biāo)準(zhǔn)地區(qū)分樂音和噪音呢?我們可以簡單地根據(jù)聲音振動(dòng)狀態(tài)的規(guī)則與不規(guī)則來定義樂音與噪音。在音樂中所使用的主要是樂音,并由一堆有規(guī)律的固定音高的音組成樂音體系。 樂音與噪聲的波形圖(圖源:神州音響網(wǎng)) 樂音體系中的數(shù)學(xué)規(guī)律 樂音體系中的音,按照上行或下行次序排列起來叫做音列。在標(biāo)準(zhǔn)調(diào)音下,鋼琴這種頻率固定、音域廣泛的樂器成功引起了小編的注意,于是我去搜了普通鋼琴八十八鍵的頻率對照圖,可以從中明顯地看出樂音體系所使用的音和音列。 鋼琴八十八鍵的頻率對照圖 (圖源:CSDN《基礎(chǔ)樂理和鋼琴》) 從中我們可以發(fā)現(xiàn)第n個(gè)鍵所對應(yīng)的頻率為:這里使用的頻率計(jì)算方法便是大名鼎鼎的十二平均律。從表中可以發(fā)現(xiàn)頻率比為整數(shù)倍的兩個(gè)音具有同樣的音名(現(xiàn)代音樂用字母CDEFGAB來標(biāo)記),兩個(gè)相鄰的具有相同音名的音音程相差八度。音程指兩個(gè)音在音高上的相互關(guān)系,也可以理解為兩個(gè)音頻率的“距離”。在十二平均律中將八度的音“平均”分為了十二個(gè)部分——半音。相鄰半音之間的頻率比等于一個(gè)常數(shù):十二平均律早在古希臘便有人提出了,但并未加以科學(xué)的計(jì)算。世界上最早根據(jù)數(shù)學(xué)來制定十二平均律的是我國明朝大音樂家朱載堉(1584年)。朱載堉:《樂律全書》 為什么是十二平均律?或許大家和小編都有這樣的疑問,帶著這樣的問題我們來一起探討。相同音名頻率之間的整數(shù)倍關(guān)系不得不讓我們想到了在物理學(xué)中諧波這個(gè)概念,諧波是指周期函數(shù)或周期性的波形中能用常數(shù)、與原函數(shù)的最小正周期相同的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的線性組合表達(dá)的部分,其頻率是基頻的整數(shù)倍,可通過傅里葉變換來得到。“傅里葉”這三個(gè)字想必大家都不陌生,如傅里葉變換、傅里葉積分、傅里葉級數(shù)、傅里葉分析…不少理工科的同學(xué)為此飽受折磨,并留下了心理陰影(這個(gè)陰影也可以進(jìn)行傅里葉變換喔~),逃不掉的都是命運(yùn)。傅里葉變換是一種線性積分變換,用于信號在時(shí)域(或空域)和頻域之間的變換,在物理學(xué)和工程學(xué)中有許多應(yīng)用。因其基本思想首先由法國學(xué)者約瑟夫·傅里葉系統(tǒng)地提出,所以以其名字來命名以示紀(jì)念。簡單來說傅里葉變換就是將一個(gè)復(fù)雜的波形拆開成一個(gè)個(gè)正弦波的組合,實(shí)際上傅里葉變換就像化學(xué)分析,可以確定波的基本成分。傅里葉變換將函數(shù)的時(shí)域(紅色)與頻域(藍(lán)色)相關(guān)聯(lián)。(圖源:維基百科) 在鋼琴中彈響一個(gè)音,都不只是一個(gè)音在響,而是許多音的結(jié)合,這種聲音叫做復(fù)合音,復(fù)合音可以通過傅里葉分析拆分成單音。復(fù)合音的產(chǎn)生是由于發(fā)音體(以弦為例)不僅全段在振動(dòng),它的各部分(二分之一、三分之一、四分之一等)也分別同時(shí)在振動(dòng)。由發(fā)音體全段振動(dòng)而產(chǎn)生的音叫做基音,也就是最易聽見的聲音,由發(fā)聲體各部分分段振動(dòng)而產(chǎn)生的音叫做泛音,其實(shí)就是物理學(xué)上的諧波,基波頻率2倍的音頻稱之為一次泛音,基波頻率3倍的音頻稱之為二次泛音,以此類推。諧振現(xiàn)象(圖源:維基百科) 這些泛音是聽覺不易聽出來的,但是由于共振(在聲學(xué)中亦稱“共鳴”),可以在鋼琴對應(yīng)鍵的鋼弦上觀察到其振動(dòng),這也是一個(gè)直觀的傅里葉分解。共振指的是物體在特定頻率下會比其他頻率以更大的振幅做振動(dòng),比如兩個(gè)頻率相同的音叉靠近,其中一個(gè)振動(dòng)發(fā)聲時(shí),另一個(gè)也會發(fā)聲。 它們與基音之間的音程以及頻率比是固定的:音程是一個(gè)八度(頻率比為2:1),然后是一個(gè)純五度(頻率比為3:2),等等。一件樂器的音色是由其泛音的比例決定的,泛音離不開基音,否則就是無本之木了,泛音和基音一同共鳴,才形成了豐滿完整的音色。 由于復(fù)合音中的泛音與基音相處融洽和諧,根據(jù)復(fù)合音的第二分音和第三分音的純五度(頻率比為3:2)關(guān)系,即由某一音開始向上推一純五度,產(chǎn)生次一律,再由次一律向上推一純五度,產(chǎn)生再次一律,如此繼續(xù)相生產(chǎn)生了五度相生律。在此做一個(gè)簡單的計(jì)算來推導(dǎo)五度相生律:取一基音,以C為例,將其頻率f乘上3/2,即升高完全五度得下一音G。 將G升高完全五度得下一音D,D之頻為(3f/2)*(3/2)=9f/4,高于原基準(zhǔn)音之倍頻,故將其除二,即降八度得9f/8。 將D升高完全五度得下一音A,A之頻為(9f/8)*(3/2)=27f/16。將A升高完全五度得下一音E,E之頻為(27f/16)*(3/2)=81f/32,高于原基準(zhǔn)音之倍頻,故將其降八度得81f/64。將E升高完全五度得下一音B,此時(shí)B之頻為(81f/64)*(3/2)=243f/128。假設(shè)有一音升高完全五度再降八度后為基準(zhǔn)音C,可得此音之頻為4f/3,此即為F。由于 (m, n為正整數(shù)),隨著純五度的演進(jìn)最后得到的音無法還原閉合,造成了音樂律學(xué)上的困難與妥協(xié)。并且五度相生律決定的音程之間頻率比不統(tǒng)一,雖然大部分五度之間的音聽起來是非常和諧的,但也有一部分不和諧的音存在。由五度相生律確定的音也面對一大難題,便是在樂曲轉(zhuǎn)調(diào)的時(shí)候聽起來也會很別扭,這也是導(dǎo)致了人們試圖尋找其它的音律。隨著時(shí)代的發(fā)展,復(fù)調(diào)音樂(有兩條及以上獨(dú)立旋律)占了越來越多的比重,轉(zhuǎn)調(diào)也因此變得更加重要。為了解決轉(zhuǎn)調(diào)的難題,作曲家們嘗試更優(yōu)化的律法,十二平均律脫穎而出。十二平均律將八度的音程按頻率比例分成十二等份,讓兩個(gè)相鄰半音的頻率比等于一個(gè)常數(shù),即2的1/12次方。由于它純五度兩個(gè)音的頻率比 ,人耳基本上聽不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差別,由此十二平均律在交響樂隊(duì)和鍵盤樂器中得到廣泛使用。 在鋼琴中黑鍵與白鍵其實(shí)并無本質(zhì)上的區(qū)別,音色完全一樣,相鄰琴鍵間(j-i=1)的頻率比都為2的1/12次方。白鍵是音的原型(自然中找得到的音),七個(gè)琴鍵構(gòu)成基本音級(CDEFGAB),黑鍵是根據(jù)基本音級升高或降低一個(gè)半音而得到的音構(gòu)成變化音級。由于黑鍵很規(guī)律的兩個(gè)一組和三個(gè)一組排列,我們可以很方便地在鋼琴中找到各個(gè)音的位置,鋼琴小白也可以看著簡譜演奏一段《小星星》。 提到和弦,可能不少曾夢想仗劍走天涯的少年都擁有一把撲灰吉他,但棄于大橫按,吉他伴奏主要是由幾個(gè)和弦構(gòu)成,那么你們有想過和弦是什么嗎?
小編的撲灰吉他 通過十二平均律定義的現(xiàn)代鋼琴,一組琴鍵由7個(gè)白鍵和5個(gè)黑鍵組成,已知相鄰琴鍵之間的頻率比: 按照和聲音程(同時(shí)彈奏的兩個(gè)音形成和聲音程)在聽覺上所產(chǎn)生的印象,音程可分為協(xié)和和不協(xié)和兩類。協(xié)和音程顧名思義是聽起來悅耳、融合的音程。協(xié)和音程可分為三種(音程以第ai與aj個(gè)琴鍵來表示):- 極完全協(xié)和音程:聲音完全合一的純一度(j=i)和幾乎完全合一的純八度(j-i=12)
- 完全協(xié)和音程:聲音相當(dāng)融合的純五度(j-i=7)和純四度(j-i=5)
- 不完全協(xié)和音程:即很不融合的大三度(j-i=4)、小三度(j-i=3)、大六度(j-i=9)、小六度(j-i=8)。
極完全協(xié)和音程與完全協(xié)和音程的特性是聲音有點(diǎn)空,而不完全協(xié)和音程的聲音則較為豐滿,可配合視頻感受。
協(xié)和音程 不協(xié)和音程聽起來比較刺耳,彼此不是很融合,比如大二度(j-i=2)、小二度(j-i=1)、大七度(j-i=11)、小七度(j-i=10)。
不協(xié)和音程 正因?yàn)檫@些聽起來和諧的聲音給人舒適放松的感覺,作曲家們便想辦法將其組合起來,把它們按照三度(大三度(j-i=4)、小三度(j-i=3))關(guān)系排列起來的三個(gè)以上的音結(jié)合起來構(gòu)成和弦。按三度音程關(guān)系構(gòu)成的和弦,由于各音間保持一定的緊張度,音響協(xié)調(diào)豐滿,并合乎泛音的自然規(guī)律,因而被廣泛采用。 最后再回到這道題目上來,了解一下什么是原位大三和弦和原位小三和弦。原位和弦指以和弦的根音為低音(最低的音)的和弦,由三個(gè)音按照三度關(guān)系疊置起來的和弦叫做三和弦,在鋼琴中的12個(gè)鍵依次記為a1,a2,...,a12 ,設(shè)0<i<j<k<13 ,大三和弦中j-i=4 表示根音到三度音是大三度,k-j=3 表示三度音到五度音是小三度,k-i=7 表示根音到五度音是純五度。同理,小三和弦中 j-i=3 表示根音到三度音是小三度,k-j=4 表示三度音到五度音是小三度, k-i=7 表示根音到五度音依然是純五度。
大三和弦與小三和弦 寫完這些,小編不禁看了看在角落落灰的燒火棍,根據(jù)今天所學(xué)的樂理知識,可以來一段單弦演奏~
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