題目是：給定奇質(zhì)數(shù)p和整數(shù)a，求x^2+y^2≡a(modp)的同余解的個數(shù)。

我們可以看作傳球問題，每次“傳球”的動作是加一個平方數(shù)。

則其轉(zhuǎn)移矩陣（記為M）滿足a(i,j)=

1，i=j；2，i-j為模p的二次剩余；0，i-j為模p的非二次剩余。

我們需要計算M^2。

該矩陣為循環(huán)矩陣，因此循環(huán)等比數(shù)列（公比為p次單位根的p項等比數(shù)列）均為其特征向量，它們對應的特征值是p（一重），以及±(-1)^((p-1)/4)*√p（各為(p-1)/2重）。）

M^2也為循環(huán)矩陣，且其特征值為M的特征值的平方：p^2（一重），以及(-1)^((p-1)/2)*p（p-1重）。

易知，一個由實數(shù)組成的循環(huán)矩陣若有p-1個特征根相等，則除主對角線以外的所有元素相等。記主對角線上的元素為s，其他元素為t，則有：

s+(p-1)t=p^2

s-t=(-1)^((p-1)/2)*p

因此，s=p+(-1)^((p-1)/2)*(p-1)，t=p-(-1)^((p-1)/2)。

s對應a為p的倍數(shù)時的方法數(shù)，t對應a不為p的倍數(shù)時的方法數(shù)。